Question

1879年美国物理学家霍尔在研究载流导体在磁场中受力情况时，发现了一种新的电磁效应：将导体置于磁场中，并沿垂直磁场方向通入电流，则在导体中垂直于电流和磁场的方向会产生一个横向电势差，这种现象后来被称为霍尔效应，这个横向的电势差称为霍尔电势差．
（1）如图甲所示，某长方体导体abcda′b′c′d′的高度为h、宽度为l，其中的载流子为自由电子，其电荷量为e，处在与ab b′a′面垂直的匀强磁场中，磁感应强度为B₀．在导体中通有垂直于bcc′b′面的电流，若测得通过导体的恒定电流为I，横向霍尔电势差为U_H，求此导体中单位体积内自由电子的个数．
（2）对于某种确定的导体材料，其单位体积内的载流子数目n和载流子所带电荷量q均为定值，人们将H=

1

nq

定义为该导体材料的霍尔系数．利用霍尔系数H已知的材料可以制成测量磁感应强度的探头，有些探头的体积很小，其正对横截面（相当于图14甲中的ab b′a′面）的面积可以在0.1cm²以下，因此可以用来较精确的测量空间某一位置的磁感应强度．如图乙所示为一种利用霍尔效应测磁感应强度的仪器，其中的探头装在探杆的前端，且使探头的正对横截面与探杆垂直．这种仪器既可以控制通过探头的恒定电流的大小I，又可以监测出探头所产生的霍尔电势差U_H，并自动计算出探头所测位置磁场的磁感应强度的大小，且显示在仪器的显示窗内．
①在利用上述仪器测量磁感应强度的过程中，对探杆的放置方位有何要求；
②要计算出所测位置磁场的磁感应强度，除了要知道H、I、U_H外，还需要知道哪个物理量，并用字母表示．推导出用上述这些物理量表示所测位置磁感应强度大小的表达式．

Answer 1

分析：（1）根据电流的微观表达式I=nevS，结合稳定时电子所受的电场力和洛伦兹力平衡求出导体中单位体积内自由电子的个数．
（2）使探杆与磁场方向平行；探头的正对横截面与磁场方向垂直，此时形成的霍尔电势差最大．根据电流的微观表达式，抓住电子所受电场力和洛伦兹力平衡，结合霍尔系数求出磁感应强度的表达式，通过表达式得出需要测量的物理量．

解答：解：（1）设单位体积内的自由电子数为n，自由电子定向移动的速率为v，
则有    I=nehlv
当形成恒定电流时，自由电子所受电场力与洛仑兹力相等，因此有
evB₀=e

UH

h

解得n=

B0I

eUHl

．
（2）①应调整探杆的放置方位（或调整探头的方位），使霍尔电势差达到最大（或使探杆与磁场方向平行；探头的正对横截面与磁场方向垂直；ab b′a′面与磁场方 向垂直）
②设探头中的载流子所带电荷量为q，根据上述分析可知，探头处于磁感应强度为B的磁场中，当通有恒定电流I，产生最大稳定霍尔电压U_H时，有  qvB=q

UH

h

又因  I=nqhlv和H=

1

nq

联立可解得  B=

UHl

HI

所以，还需要知道探头沿磁场方向的宽度l．
答：（1）导体中单位体积内自由电子的个数为

B0I

eUHl

．
（2）①应调整探杆的放置方位（或调整探头的方位），使霍尔电势差达到最大（或使探杆与磁场方向平行；探头的正对横截面与磁场方向垂直；ab b′a′面与磁场方 向垂直）．
②还需要知道探头沿磁场方向的宽度l．

点评：解决本题的关键掌握电流的微观表达式，以及知道稳定时电子所受的电场力和洛伦兹力平衡．