Question

10．如图所示，倾角为θ=37°的固定斜面，一劲度系数k=18N/m的轻质弹簧的上端固定于斜面顶端，另一端固连在一质量m=1kg的光滑小球A，跟A紧靠的物块B（质量也为m）与斜面间的动摩擦因数μ=0.75，且最大摩擦力等于滑动摩擦力．图中施加在B上的力F=18N，方向沿斜面向上，A和B均处于静止状态，且斜面对B恰无摩擦力，当搬除力F后，A和B一起沿斜面下滑到某处时分离，分离后A一直在斜面上运动，B继续沿斜面下滑，已知：sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s²．
（1）未撤除F时，弹簧的形变量为多大？
（2）A和B分离时B的速度为多大？

Answer 1

分析 （1）未撤去力F时，对A和B整体，根据平衡条件结合胡克定律求解；
（2）分离时，AB之间无弹力作用，但速度和加速度相等，根据牛顿第二定律，求得加速度相等时弹簧的长度，再由动能定理求得速度；

解答 解：（1）未撤去力F时，对A和B整体，根据平衡条件得：
2mgsinθ+F₁=F　　　　　　
其中弹力为：F₁=kx₁
解得弹簧的压缩量为：x₁=$\frac{1}{3}$m
（2）分离时，AB之间无弹力作用，但速度和加速度相等，根据牛顿第二定律，
对B：mgsinθ-f=ma_B　　　　　　　
其中f=μ₁mgcosθ　　　　
联立解得a_B=0
对A：mgsinθ-F₂=ma_A，
其中弹力F₂=kx₂
由a_A=a_B=0，解得分离时弹簧的伸长量为：x₂=$\frac{1}{3}$m
可见x₁=x₂，AB整体运动到分离弹簧的弹力做功为零，根据动能定理有：
2mg•sin$θ（{x}_{1}+{x}_{2}）-f（{x}_{1}+{x}_{2}）=\frac{1}{2}2m{v}^{2}$
带入数据解得：v=$\sqrt{2×10×0.6×\frac{2}{3}-0.75×10×0.8×\frac{2}{3}}$=2m/s
答：（1）未撤除F时，弹簧的形变量为$\frac{1}{3}m$，
（2）A和B分离时B的速度为2m/s．

点评 本题要抓住临界状态，分析临界条件，即A与B刚分离时，B对A的作用力为零，这也是两物体刚分离时常用到的临界条件．