Question

7．如图所示，P是倾角为30°的光滑固定斜面，物块B停靠于固定在斜面底端的挡板上．劲度系数为k的轻弹簧一端与物块B相连，另一端与质量为m的物块A相连接．细绳的一端系在A上，另一端跨过光滑定滑轮系一个不计质量的小挂钩，小挂钩不挂物体时，A处于静止状态，细绳与斜面平行．在小挂钩上轻轻挂上一个质量也为m的物块C后，A沿斜面向上运动，当A的速度最大时B恰好离开挡板．斜面足够长，运动过程中C始终未接触地面，已知当地重力加速度为g．求：
（1）在未挂物块C时弹簧的形变量和物块A刚开始运动时的加速度a大小；
（2）物块A的速度达到最大时弹簧的形变量和物块B的质量；
（3）物块A的最大速度v_m．

Answer 1

分析 对物体进行受力分析，根据平衡状态列出方程
（1）A受力平衡，重力的沿线面的分力等于弹簧的弹力，可求出形变量，以及挂C之后的加速度，计算的时候注意AC共同加速，所以加速度为重力加速度的一般；
（2）速度最大的时候，合外力为0，根据平衡条件求出弹簧弹力，对B分析，求出B的质量；
（3）根据机械能守恒定律，初状态机械能包括弹性势能和重力势能等于末状态机械能，进而求出AC的速度．

解答 解：（1）根据题意，当未挂C物块时，由于斜面是光滑的，A物体将受到3个力的作用而处于静止状态，根据平衡条件可得：
F_弹=mgsin30°=k△x
△x=$\frac{mg}{2k}$
物体A刚开始运动时，合外力由C物体提供，所以
a=$\frac{g}{2}$；
（2）当速度最大的时候，物体的加速度为0，对A受力分析可得：
F_弹+mgsin30°=T_C
又速度最大的时候，AC无加速度，故T_C=mg
故，F_弹=$\frac{1}{2}$mg
△x=$\frac{mg}{2k}$
又m_Bgsin30°=F_弹
故，m_B=m；
（3）速度最大的时候AC速度相等，C物体的势能转化为AC的动能和弹簧的弹性势能，根据机械能守恒，列出方程：
$\frac{1}{2}k{x}^{2}+\frac{1}{2}•2m{{•V}_{m}}^{2}=mgx+\frac{1}{2}k{x}^{2}$
又   x=$\frac{mg}{2k}$
由以上可得：
V_m=g$\sqrt{\frac{m}{2k}}$．
即A物体的最大速度．
答：（1）在未挂物块C时弹簧的形变量$\frac{mg}{2k}$，物块A刚开始运动时的加速度a大小为$\frac{g}{2}$；
（2）物块A的速度达到最大时弹簧的形变量$\frac{mg}{2k}$，物块B的质量为m；
（3）物块A的最大速度g$\sqrt{\frac{m}{2k}}$．

点评 本题反复应用受力分析的平衡方程，利用整体法和隔离法分别得到AC以及A 和B的受力情况，进而求解弹力，在第三个问中，初状态下的重力势能高度是x，这个地方容易出错写成x/2，本题综合性较强．