Question

如图所示,光滑水平面上有两个质量分别为m₁,和m₂的小球1和2,它们在一条与右侧竖直墙壁垂直的直线上前后放置.设开始时球2静止,球1以速度v₀对准球2运动,不计各种摩擦,所有碰撞都足弹性的,如果要求两球只发生两次碰撞,试确定m₁/m₂比值的范围.

Answer 1

12.分别就m₁＞m₂,m₁=m₂,m₁＜m₂三种情形作具体分析,即可求得为使两球只碰撞两次,m₁/m₂所应满足的条件.由弹性碰撞的知识可知:,,式中v₁和v₂取正值表示速度方向向右,取负值表示向左.第一次碰撞后,v₂必为正;v₁可能为正、零或负,由m₁与m₂的比值决定.现分别讨论如下:(1)m₁＞m₂:球2以-v₂左行,与以速度v₁,右行的球1发生第二次碰撞,碰后球1与球2的速度分别为,.因m₁＞m₂,故v₂′＞0,与墙壁碰撞后以速度-v₂′左行.为了不与球1发生第三次碰撞,首先要求球1左行,即:(m₁—m₂)²-4m₁m₂＜0,解得:.其次还要求碰撞后的球2追不上球1,v₂′＜-v₁′,即:4m₁(m₁-m₂)≤4m₁m₂-(m₁-m₂)₂,解得:,由以上两个不等式,加上条件,得出的取值范围为:.(2)m₁=m₂:由完全弹性碰撞的规律,质量相同的两个球相碰后互换速度,所以第二次碰撞后球1和球2不会再次相碰.(3)m₁＜m₂:第一次碰撞后,球1左行,球2右行.球2碰墙后为了能追上球1作第二次碰撞,要求-v₂＞v₁,即:2m₁＞m₂

-m₁,解得:,所以,的取值范围应为:.综上所述,为了使两球能够作二次碰撞,且只能作二次碰撞的条件是: