Question

15．如图甲所示，两组平行正对金属板A、B和C、D，C、D的左端紧靠B板，A与C、B与D分别连接后，接上如图乙所示规律变化的电压，忽略极板正对部分之外的电场．位于A板中心P处的粒子源可以产生比荷（$\frac{q}{m}$）为k的带正电粒子，粒子的重力和初速度均可忽略不计．已知t=0时刻产生的粒子，恰好在t=2T₀时刻从B板中心的小孔Q处穿过，并在t=3T₀时刻紧贴D板的右边缘离开，求：
（1）A、B板间的距离d₁；
（2）粒子从D板边缘射出时速度方向与PQ延长线夹角的正切值；
（3）t=$\frac{{T}_{0}}{2}$时刻产生的粒子，从C、D板右侧射出时偏离PQ延长线的距离．

Answer 1

分析 （1）由运动情况结合运动学公式求得距离．
（2）因做类平抛运动，求出两方向的速度确定出偏角的正切值．
（3）先分段求解再求总偏离距离．

解答 解：（1）在 0-T₁时间内，A、B间为匀强电场，粒子匀加速运动，设A、B板间的距离为d₁，
则 ${a}_{1}=K\frac{{U}_{0}}{{d}_{1}}$　　${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{T}_{0}^{2}$
在T₀-2T₀时间内粒子做匀速运动x₂=a₁T₀•T₀
而x₁+x₂=d₁整理得：${d}_{1}=\sqrt{\frac{3K{U}_{0}}{2}}{T}_{0}$
（2）粒子在CD板间运动时，沿平行于极板方向做匀速运动
v_x=a₁T₀
沿垂直于极板方向做匀加速度运动，设CD板间的距离为d₂，
${a}_{2}=K\frac{{U}_{0}}{{d}_{2}}$
$\frac{{d}_{2}}{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{T}_{0}^{2}$
v_y=a₂T₀
则tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$
（3）设粒子在2T₀+t时刻到达Q，根据运动学公式
   $\frac{1}{2}{a}_{1}（\frac{{T}_{0}}{2}）^{2}+{a}_{1}（\frac{{T}_{0}}{2}）{T}_{0}+{a}_{1}\frac{{T}_{0}}{2}t+\frac{1}{2}{a}_{1}$t²=d₁
整理得t=$\frac{\sqrt{8}-1}{2}{T}_{0}$，因t＜T₀，所以粒子在2T₀-3T₀之间的某时刻经过Q，此时粒子的 速度大小
v=${a}_{1}（\frac{{T}_{0}}{2}+t）-\sqrt{2}{a}_{1}{T}_{0}$
设CD板长为L，由（2）知L=v₀T₀
所以粒子通过CD板间的时间为$△t=\frac{L}{v}$
整理得$△t=\frac{\sqrt{2}}{2}{T}_{0}$由于T₀-t＜△t＜T₀所以粒子在CD间运动过程中，沿垂直极板方向先以加速度a₂匀加速运动 （T₀-t）时间，再以速度a₂（T₀-t）时间，故从CD右侧飞出时偏离PQ延长线的距离为$y=\frac{1}{2}{a}_{2}（{T}_{0}-t）^{2}+{a}_{2}（{T}_{0}-t）_{\;}$（△t-（T₀-t））
整理得：y=$\frac{18\sqrt{2}-25}{8}\sqrt{K{U}_{0}}{T}_{0}$
答：（1）A、B板间的距离为$\sqrt{\frac{3K{U}_{0}}{2}}{T}_{0}$
（2）粒子从D板边缘射出时速度方向与PQ延长线夹角的正切值为$\sqrt{\frac{3}{2}}$；
（3）t=$\frac{{T}_{0}}{2}$时刻产生的粒子，从C、D板右侧射出时偏离PQ延长线的距离为$\frac{18\sqrt{2}-25}{8}\sqrt{K{U}_{0}}{T}_{0}$

点评 本题带电粒子在周期性电场中运动问题，分析粒子的运动情况是关键，运用运动的分解法进行研究．