Question

如图所示，A、B两个矩形木块用轻弹簧相接静止在水平地面上，弹簧的劲度系数为k，木块A和木块B的质量均为m．
（1）若用力将木块A缓慢地竖直向上提起，木块A向上提起多大高度时，木块B将离开水平地面．
（2）若弹簧的劲度系数k是未知的，将一物体C从A的正上方某位置处无初速释放，C与A相碰后立即粘在一起（不再分离）向下运动，它们到达最低点后又向上运动．已知C的质量为m时，把它从距A高为H处释放，则最终能使B刚好离开地面．若C的质量为

m

2

，要使B始终不离开地面，则释放时，C距A的高度h不能超过多少？

Answer 1

分析：（1）在提起A的过程中，弹簧先有原来的压缩状态逐渐的恢复到原长，然后弹簧又被拉伸，当弹簧的拉力等于B的重力的时候B就要离开地面，根据B此时的受力可以求得此时弹簧的伸长量，A被提起的高度等于弹簧原来的压缩量和后来的伸长量的和；
（2）C与A碰撞的过程中，AC的动量守恒，根据动量守恒可以求得碰撞之后AC的共同的速度的大小，在碰撞之后的过程中，根据系统的机械能守恒可以求得B刚要离开地面时AC离地面的高度的大小，当C的质量为

m

2

时，碰撞后AC的高度不能超过第一次是AC的高度的大小，由此可以求得C的最大的高度．

解答：解：（1）开始时，木块A处于平衡，则kx₁=mg（弹簧压缩）
木块B刚好离开地面时，有kx₂=mg（弹簧伸长）
故木块A向上提起的高度为x₁+x₂=

2mg

k

，
（2）物块C的质量为m时，它自由下落H高度时的速度 v₁=

2gH

  ①
设C与A碰撞后的共同速度为v₂，根据动量守恒定律，有mv₁=mv₂，
则v₂=

v1

2

   ②
以后A、C继续压缩弹簧，后又向上弹起，最终能使木块B刚好离开地面．
此过程中，A、C上升的高度为x₁+x₂=

2mg

k

，
由于最初弹簧的压缩量x₁与最后的伸长量x₂相等，所以，弹簧势能相等，根据机械能守恒定律，有

1

2

×2mv₂²=2mg（x₁+x₂）  ③
物块C的质量为

m

2

时，设在距A高h处自由下落后刚好能使木块B离开地面．
则C下落h高度时的速度v₁′=

2gh

  ④
设C与A碰撞后的共同速度为v₂′．
则有

1

2

mv₁′=（m+

1

2

m）v₂′
解得v₂′=

1

3

v₁′⑤
A、C碰后上升高度（x₁+x₂）时，木块B刚好离开地面，此过程中，由机械能守恒定律有

1

2

（m+

1

2

m）v₂′²=（m+

1

2

m）g（x₁+x₂） ⑥
由以上各式消去（x₁+x₂），
解得 h=

9

4

H．
答：（1）若用力将木块A缓慢地竖直向上提起，木块A向上提起多大高度为

2mg

k

；
（2）C开始下降的最大的高度为

9

4

H．

点评：本题是动量和能量相结合的题目，难度较大，在解决本题的时候要注意B刚要离开地面是指B的受力刚好为零的时刻，在第二问中，抓住B刚好离开地面这一个条件，也就是前后两次在碰撞之后A离开地面的高度是相同的．