Question

（2010?平顶山模拟）如图所示，一小球从A点以某一水平向右的初速度出发，沿水平直线轨道运动到B点后，进入半径R=10cm的光滑树枝圆形轨道，圆形轨道间不相互重叠，即小球离开圆形轨道后可继续向C点右侧有一壕沟，C、D两点的竖直高度h=0.8cm，水平距离s=1.2cm，水平轨道AB长为L₁=1m，BC长为L₂=3m．小球与水平轨道间的动摩擦因数u=0.2，重力加速度g=10m/s²，重力加速度g=10m/s²，则：
（1）若小球恰能通过圆形轨道的最高点，求小球在A点的初速度？
（2）若小球既能通过圆形轨道的最高点，又不能掉进壕沟，求小球在A点的初速度的范围是多少？

Answer 1

分析：（1）小球恰能通过圆形轨道的最高点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律可求出小球经圆形轨道的最高点时的速度．根据动能定理分别研究小球从B点到轨道最高点的过程和A→B过程，联立求解小球在A点的初速度．
（2）若小球既能通过圆形轨道的最高点，又不能掉进壕沟，有两种情况：第一种情况：小球停在BC间；第二种情况：小球越过壕沟．若小球恰好停在C点，由动能定理求出小球的初速度．得出第一种情况下小球初速度范围．若小球恰好越过壕沟，由平抛运动知识求出小球经过C点的速度，再由动能定理求出初速度，得到初速度范围．

解答：解：（1）小球恰能通过最高点    mg=m?

v2

R

  ①
由B到最高点         

1

2

mvB2=

1

2

mv2+mg(2R) ②
由A→B-μmgL1=

1

2

mvB2-

1

2

mvA2  ③
解得：在A点的初速度v_A=3m/s  ④
（2）若小球恰好停在C处，对全程进行研究，则有：
-μmg（L+L′）=0-

1

2

mv′2，解得v′=4m/s．
所以当3m/s≤v_A≤4m/s时，小球停在BC间．
 若小球恰能越过壕沟时，则有
   h=

1

2

gt2，s=vt，
又-μmg（L+L′）=

1

2

mv2-

1

2

mv″2
解得，v″=5m/s
所以当v_A≥5m/s，小球越过壕沟．
答：（1）若小球恰能通过圆形轨道的最高点，小球在A点的初速度是3m/s．
（2）若小球既能通过圆形轨道的最高点，又不能掉进壕沟，小球在A点的初速度的范围是3m/s≤v_A≤4m/s或v_A≥5m/s．

点评：本题是圆周运动、平抛运动和动能定理的综合应用，注意分析临界状态，把握临界条件是重点．