Question

10．如图所示斜面AB和竖直光滑的半圆弧轨道在B点相切，圆弧直径BC与斜面垂直，O为圆心，圆轨道半径R=0.5m，轻质弹簧的一端固定在A点、处于自然状态时另一端在斜面上的D点，斜面AD部分光滑，DB部分粗糙斜，斜面倾角θ=53°，一质量m=1kg的小物块以初速度v_c从C点沿圆弧切线进入轨道，小物块恰能沿轨道运动并压缩弹簧至P点时速度为0，DP两点间的距离S=0.2m，sin53°=0.8，cos53°=0.6，g取10m/s²．
（1）若小物块第一次经过D点的速度为V_d=6m/s，求弹簧被压缩到P点时的弹性性能E；
（2）求小物块的初速度v₀；
（3）若BD间距L=2.5m，为使小物体在运动过程中始终不会离开轨道，求小物块与斜面DB间的动摩擦因数的最小值μ．

Answer 1

分析 （1）从D到P，物块的机械能转化为弹簧的弹性势能，根据功能关系列式求解即可；
（2）小物块恰好沿轨道运动，说明在O点正上方的最高点（设为E），正好有重力提供向心力，设速度为v，则有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$；
从C到E，根据机械能守恒可求出C点的速度；
（3）过O点做水平线交圆弧与F点．要让小球不离开轨道，则小球到达F点速度为零，或者小球沿圆弧能够做位置的圆周运动，而根据题目说开始恰好经过最高点E，则返回时由于在BD间要克服摩擦力做功，因此不可能做完整的圆周运动，故小球不离开轨道，则最高只能到F点，且速度为零，然后根据能量守恒定律，确定摩擦因数的最小值．

解答 解：（1）从D到P，物块的机械能转化为弹簧的弹性势能，根据功能关系，有：
E=$\frac{1}{2}$mv_d²+mgSsin53°=$\frac{1}{2}×1×{6}^{2}+1×10×0.2×0.8$=19.6J
（2）小物块恰好沿轨道运动，在最高点，有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
从C到E，根据机械能守恒，有：
-mgR（1-cos53°）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
联立解得：
v₀=$\sqrt{gR（3-2cos53°）}$=$\sqrt{10×0.5×（3-2×0.6）}$=3m/s
（3）对从开始到与圆心等高点过程，根据功能关系，有：
mg（2Rcos53°）-2μmgcos53°L=0
解得：
μ=$\frac{R}{L}$=$\frac{0.5m}{2.5m}=0.2$
答：（1）若小物块第一次经过D点的速度为V_d=6m/s，弹簧被压缩到P点时的弹性性能E为19.6J；
（2）小物块的初速度v₀为3m/s；
（3）若BD间距L=2.5m，为使小物体在运动过程中始终不会离开轨道，小物块与斜面DB间的动摩擦因数的最小值为0.2．

点评 本题关键是明确滑块的受力情况、运动情况和能量转化情况，然后结合动能定理、机械能守恒定律、功能关系、牛顿第二定律和向心力公式列式求解，不难．