Question

【题目】如图所示，把一个有孔的小球A装在轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在沿水平x轴的光滑杆上，能够在杆上自由滑动。把小球沿x轴拉开一段距离，小球将做振幅为R的振动，O为振动的平衡位置。另一小球B在竖直平面内以O′为圆心，在电动机的带动下，沿顺时针方向做半为径R的匀速圆周运动。O与O′在同一竖直线上。用竖直向下的平行光照射小球B，适当调整B的转速，可以观察到，小球B在x方向上的“影子”和小球A在任何瞬间都重合。已知弹簧劲度系数为k，小球A的质量为m，弹簧的弹性势能表达式为，其中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的形变量。

a．请结合以上实验证明：小球A振动的周期。

b．简谐运动的一种定义是：如果质点的位移x与时间t的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。请根据这个定义并结合以上实验证明：小球A在弹簧作用下的振动是简谐运动，并写出用已知量表示的位移x与时间t关系的表达式。

Answer 1

【答案】a. b. ，其中R、k、m为常量

【解析】a. 以小球A为研究对象，设它经过平衡位置O时的速度为v，当它从O运动到最大位移处，根据机械能守恒有，由此得 ①。

由题中实验可知，小球B在x方向上的“影子”的速度时刻与小球A的相等，A经过O点的速度v与B经过最低点的速度相等，即小球B做匀速圆周运动的线速度也为v。小球A振动的周期与小球B做圆周运动的周期相等。

根据圆周运动周期公式，小球B的运动周期 ②

联立①②两式得小球B的运动周期

所以小球A的振动周期也为

b. 设小球B做圆周运动的角速度为ω。设小球A从O向右运动、小球B从最高点向右运动开始计时，经过时间t，小球B与O 的连线与竖直方向成φ角，小球B在x方向上的位移

x = Rsinφ = Rsinωt

根据，

联立以上各式得

由题中实验可知B在x方向上的“影子”和A在任何瞬间都重合即小球A的位移规律也为，其中R、k、m为常量

所以小球A的运动是简谐运动。