Question

【题目】如图所示，在光滑的水平地面上的左端连接一光滑的半径为R的圆形固定轨道，并且水平面与圆形轨道相切，在水平面内有一质量M=3m的小球Q连接着轻质弹簧，处于静止状态，现有一质量为m的小球P从B点正上方h=R高处由静止释放，小球P和小球Q大小相同，均可视为质点，重力加速度为g。

（1）求小球P到达圆心轨道最低点C时的速度大小和对轨道的压力；

（2）求在小球P压缩弹簧的过程中，弹簧具有的最大弹性势能；

（3）若小球P从B点上方高H处释放，恰好使P球经弹簧反弹后能够回到B点，求高度H的大小。

Answer 1

【答案】（1）5mg （2） （3）3R

【解析】（1）小球P从A运动到C的过程，根据机械能守恒得：mg（h+R）=mvC2
又 h=2R，
解得：vC=

在最低点C处，根据牛顿第二定律得：FN-mg=m
解得：FN=7mg，
根据牛顿第三定律可知，小球P对轨道的压力大小为7mg，方向竖直向下．
（2）弹簧被压缩过程中，当两球速度相等时，弹簧具有最大弹性势能，以向右为正，根据系统动量守恒得：mvC=（m+M）v，
根据机械能守恒定律得：mvC2=EPm+（m+M）v2．
联立解得：EPm=mgR
（3）设小球P从B上方高H处释放，到达水平面速度为v0，由机械能守恒定律得：
mg（H+R）=mv02．
弹簧被压缩后再次恢复到原长时，设小球P和Q的速度大小分别为v1和v2，根据动量守恒定律有：mv0=-mv1+Mv2
根据机械能守恒定律有：mv02=mv12+Mv22
要使P球经弹簧反弹后恰好回到B点，则有：
mgR=mv12．
联立解得：H=3R