Question

15．铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，若内轨道所处平面的倾角为θ，如图所示，已知弯道处的圆弧半径为R，质量为m的火车以速度v通过弯道时．火车对轨道恰好没有侧向的挤压力，则下列说法正确的是（　　）

• A． v=$\sqrt{gRtanθ}$
• B． 当过弯道速度小于v时，外轨对外侧车轮轮缘有侧向挤压
• C． 当弯道速度等于v时，铁轨对火车垂直于轨道平面的支持力等于mgcosθ
• D． 当弯道速度大小v时，铁轨对火车垂直于轨道平面的支持力大于$\frac{mg}{cosθ}$

Answer 1

分析 据题分析可知，火车以轨道的速度v转弯时，其所受的重力和支持力的合力提供向心力，先平行四边形定则求出合力，再根据根据合力等于向心力求出转弯速度，当转弯的实际速度大于或小于轨道速度时，火车所受的重力和支持力的合力不足以提供向心力或大于所需要的向心力，火车有离心趋势或向心趋势，故其轮缘会挤压车轮．

解答 解：A、火车以速度v通过弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，其所受的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示，由图可以得出：F_合=mgtanθ
由合力等于向心力，得：mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：v=$\sqrt{gRtanθ}$，故A正确；
B、若火车速度小于v时，火车所需要的向心力F_n=m$\frac{{v}^{2}}{R}$小于火车所受的重力和支持力的合力，火车有向心趋势，故其内侧车轮轮缘会与铁轨相互挤压，内轨受到侧压力作用，故B错误；
C、若火车速度大于v时，火车所需要的向心力F_n=m$\frac{{v}^{2}}{R}$大于火车所受的重力和支持力的合力，火车有离心趋势，故其外侧车轮轮缘会与铁轨相互挤压，外轨受到侧压力作用，设铁轨对火车垂直于轨道平面的支持力为N，外轨对火车车轮的侧压力大小为F，则根据竖直方向力平衡得：Ncosθ=Fsinθ+mg，得 N=$\frac{mg}{cosθ}$+Ftanθ＞mgcosθ，故C错误；，
D、当弯道速度大小v时，铁轨对火车垂直于轨道平面的支持力 N=$\frac{mg}{cosθ}$，故D错误；
故选：A．

点评 本题关键抓住火车所受重力和支持力的合力恰好提供向心力的临界情况，计算出临界速度，然后根据离心运动和向心运动的条件进行分析．