Question

如图所示，两水平放置的平行金属板a、b，板长L=0.2m，板间距d=0.2m．两金属板间加可调控的电压U，且保证a板带负电，b板带正电，忽略电场的边缘效应．在金属板右侧有一磁场区域，其左右总宽度s=0.4m，上下范围足够大，磁场边界MN和PQ均与金属板垂直，磁场区域被等宽地划分为n（正整数）个竖直区间，磁感应强度大小均为B=5×10^﹣3T，方向从左向右为垂直纸面向外、向内、向外…．在极板左端有一粒子源，不断地向右沿着与两板等距的水平线OO′发射比荷=1×10⁸C/kg、初速度为v₀=2×10⁵m/s的带正电粒子．忽略粒子重力以及它们之间的相互作用．

（1）当取U何值时，带电粒子射出电场时的速度偏向角最大；

（2）若n=1，即只有一个磁场区间，其方向垂直纸面向外，则当电压由0连续增大到U过程中带电粒子射出磁场时与边界PQ相交的区域的宽度；

（3）若n趋向无穷大，则偏离电场的带电粒子在磁场中运动的时间t为多少？

Answer 1

【考点】： 带电粒子在匀强磁场中的运动；牛顿第二定律；向心力．

【专题】： 带电粒子在磁场中的运动专题．

【分析】： （1）当粒子从边缘射出时，速度偏向角最大；根据分运动公式列式求解即可；

（2）逐渐增大偏转电压U，速度偏向角变大，磁偏转半径变大，与PQ交点逐渐上移；找出两个临界情况，根据洛伦兹力提供向心力列式求解半径，由几何关系得到离开磁场的位置；

（3）考虑粒子以一般情况入射到磁场，速度为v，偏向角为θ，当n趋于无穷大时，运动轨迹趋于一条沿入射速度方向的直线（渐近线）；根据分运动公式列式求解即可．

【解析】： 解：（1）设速度偏向角为θ，则tanθ=，显然当vy最大时，tanθ最大．

当粒子恰好从极板右边缘出射时，速度偏向角最大．

竖直方程：y=，a=；                     

水平方程：x=L=v0t                                 

解得：U=400V           

（2）由几何关系知，逐渐增大Uba，速度偏向角变大，磁偏转半径变大，与PQ交点逐渐上移．      

当U=0时，交点位置最低（如图中D点）：

由Bqv0=m

得：r1=；

此时交点D位于OO′正下方0.4m处．  

当U=400V时，交点位置最高（如图中C点）：

由vy=at==2×105m/s

得：v=

由Bqv=m，

得：r2=

由tanθ==1，得入射方向为与水平方向成45°角；

由几何关系得，此时交点位于OO′正上方r2﹣处．

所以交点范围宽度为：CD=0.4+0.4﹣0.3=0.1+0.4（m）

（3）考虑粒子以一般情况入射到磁场，速度为v，偏向角为θ，当n趋于无穷大时，运动轨迹趋于一条沿入射速度方向的直线（渐近线）． 

又因为速度大小不变，因此磁场中运动可以等效视为匀速直线运动．   

轨迹长度为：S′=，运动速率为：v=

时间wei：t=

代入数据解得：t=2×10﹣6s