Question

如图所示，地面附近的坐标系xoy在竖直平面内，空气有沿水平方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在x＜0的空间内还有沿x轴负方向、场强大小为E的匀强电场．一个带正电的油滴经图中x轴上的M点，沿与水平方向成a=30°角斜向下的直线运动，进入x＞0的区域．要使油滴进入x＞0的区域后能在竖直平面内做匀速圆周运动，需在x＞0区域加一个匀强电场．若带电油滴做圆周运动通过x轴上的N点，且MO=ON，重力加速度为g，求：
（1）油滴运动的速度大小；
（2）在x＞0区域内所加电场的场强大小及方向；
（3）油滴从M点到N点所用的时间．

Answer 1

分析：（1）油滴沿着直线MP做匀速运动，合力为零，作出油滴的受力示意图，根据平衡条件和洛伦兹力公式列式，即可求得速率v．
（2）在x＞0的区域，油滴要做匀速圆周运动，其所受的电场力必与重力平衡，则可由平衡条件列式求得场强．
（3）分段求时间，匀速直线运动过程，根据位移和速率求解；匀速圆周运动过程，画出轨迹，根据轨迹的圆心角求时间．

解答：解：（1）带电油滴在x＜0区域内受重力mg，电场力qE和洛仑兹力f，油滴沿直线运动，重力和电场力为恒力，则与运动方向垂直的洛仑兹力f的大小一定不能变化，因此油滴一定做匀速直线运动．
由平衡条件可知qvB=

qE

sinα

①
     mg=qEcotα②
由①②两式代人数据得v=

2E

B

③
    

m

q

=

3 E

g

④
（2）因油滴进入x＞0区域后做匀速圆周运动，
所受电场力qE'与重力等大反向，
即qE'=mg⑤
由④⑤得E′=

3

E⑥方向竖直向上．
（3）油滴从P点进入x＞0区域，然后做匀速圆周运动，其轨迹所对应的圆心角为120°，油滴从P到N的时间
t2=

T

3

=

2πm

3qB

⑦
由④⑦得：t2=

2 3 πE

3Bg

⑧
由几何关系可知：图中MP=

3

R，油滴从M到P的时间t1=

3 R

v

⑨
又R=

mv

Bg

⑩
又④⑨⑩得t 1=

3E

Bg

从M到N的总时间t=t 1+t2=(3+

2π 3

3

)

E

Bg

答：（1）油滴运动的速度是v=

2E

B

；
（2）在x＞0区域内所加电场的场强大小  E′=

3

E，方向竖直向上；
（3）油滴从M点到N点所用的时间t=(3+

2π 3

3

)

E

Bg

．

点评：本题是带电体在复合场中运动的类型，分析受力情况和运动情况是基础，小球做匀速圆周运动时，画出轨迹，由几何知识确定圆心角是求解运动时间的关键．