Question

（2010?浙江模拟）从地面竖直上抛一物体，上抛初速度v₀=20m/s，物体上升的最大高度H=16m，设物体在整个运动过程中所受的空气阻力大小不变，以地面为重力势能零点，g取10m/s²，问物体在整个运动过程中离地面多高处其动能与重力势能相等？（保留2位有效数字）
某同学的解答如下：
设物体上升至h高处动能与重力势能相等

1

2

mv²=mgh  ①
上升至h处由动能定理-mgh-F_fh=

1

2

mv²-

1

2

mv₀² ②
上升至最高点H处由动能定理-mgh-F_fh=0-

1

2

mv₀² ③
联立以上三式，并代入数据解得h=8.9m处动能与重力势能相等．
经检查，计算无误．该同学所得结论是否有不完善之处？若有请予以补充．

Answer 1

分析：竖直上抛一物体，所受阻力大小不变，则物体在上升时阻力与重力同向，下降时阻力与重力反向，重力先做负功后做正功，而阻力始终做负功．故物体上升和下降的过程不是对称的过程．故物体在上升时有重力势能与动能相等的位置，物体在下降时亦有重力势能与动能相等的位置，而题中同学的解法只考虑到上升过程中的位置没有考虑到下降过程中两者相等的位置．

解答：解：该同学所得结论有不完善之处，只计算了上升过程中动能与重力势能相等处，而未考虑下降过程中动能与重力势能相等处．  
设从最高点下落至离地h′高处时动能与势能也相等，此时物体速度为v′．
下落过程据动能定理(mg-Ff)(H-h′)=

1

2

mv′2       ④
且

1

2

mv′2=mgh′                    ⑤
由③④⑤式解得h′=

4gH- v 2 0

6gH- v 2 0

H
代入数据解得h′=6.9m
答：物体在上升和下降过程中分别有重力势能与动能相等的位置．

点评：动能和重力势能相等的位置，抓住阻力始终做负功，而重力在上升阶段做负功，下降阶段做正功．这是解决问题的关键．