Question

如图1所示，AB段是一段光滑的水平轨道，轻质弹簧一端固定在A点，放置在轨道AB上，BC段是半径R=2.5m的光滑半圆弧轨道，有一个质量m=0.1kg的小滑块，紧靠在被压紧的弹簧前，松开弹簧，物块被弹出后恰好能通过C点，（g取10m/s²）

求：（1）弹簧被压紧时的弹性势能；
（2）保持弹簧每次的压缩量相同，让物块的质量在

1

4

m至m之间变化，求物块从C点飞出后在水平轨道上落点的范围；
（3）保持物块的质量m不变，改变每次对弹簧的压缩量，设小滑块经过半圆弧轨道C点时，轨道对小滑块作用力的大小为F_N，试研究F_N与弹簧的弹性势能E_P的函数关系，并在坐标纸上作出F_N-E_P图象．

Answer 1

（1）物块恰能过C点，有：mg=m

v 2c

R

vc=

gR

=5m/s
物块由初位置至C点，设弹簧弹力做功W₁，由动能定理知：W1-2mgR=

1

2

m

v

2C

代入数据得：W₁=6.25J
即初释时弹簧具有的弹性势能E_P=W₁=6.25J；
（2）当物体质量为

1

4

m时，过C点的速度为v′_C，则：
W1-

1

4

mg×2R=

1

2

×

m

4

v′

2C

代入数据得：v′_C=20m/s
设速度为v_C时水平位移为x₁，设速度为v′_C时水平位移为x₂，从平抛到落地的时间为t，则有：
2R=

1

2

gt²
x₁=v_Ct
x₂=v′_Ct
代入数据得：x₁=5m
x₂=20m
所以，物块从C点飞出后在水平轨道上落点的范围为5m到20m之间；
（3）设每次弹出物块弹簧做功为W，物块至C处的速度为V_C，C处对物块的弹力为F_N
则：

1

2

m

v

2c

=W-2mgR
_W=E_P
在C点由牛顿第二定律得：FN+mg=m

v 2c

R

整理得：FN=

2EP

5

-5mg=

4

5

EP-5
作图，如右图．

答：：（1）弹簧被压紧时的弹性势能为6.25J
（2）物块从C点飞出后在水平轨道上落点的范围为5m到20m；
（3）F_N与弹簧的弹性势能E_P的函数关系为FN=

4

5

E_P-5，F_N-E_P图象为：