Question

16．如图所示，平行金属导轨OP、KM和PQ、MN相互垂直，且OP、KM与水平面间夹角为θ=37°，导轨间距均为L=1m，电阻不计，导轨足够长．两根金属棒ab和cd与导轨垂直放置且接触良好，ab的质量为M=2kg，电阻为R₁=2Ω，cd的质量为m=0.2kg，电阻为R₂=1Ω，金属棒和导轨之间的动摩擦因数均为μ=0.5，两个导轨平面均处在垂直于轨道平面OPKM向上的匀强磁场中．现让cd固定不动，将金属棒ab由静止释放，当ab沿导轨下滑x=6m时，速度已达到稳定，此时，整个回路消耗的电功率为P=12W．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g 取10m/s² ）求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）ab沿导轨下滑x=6m的过程中ab棒上产生的焦耳热Q；
（3）若将ab与cd同时由静止释放，当cd达到最大速度时ab的加速度a．

Answer 1

分析 （1）对ab棒受力分析，由于速度达到稳定，即此时合外力为零；再据电学公式求解B．
（2）ab运动稳定后，其下滑速度已经达到稳定，ab棒减小的重力势能转化为其动能、摩擦生热和焦耳热，根据动能定理和电学公式求产生的热量Q．
（3）分别对两棒为研究对象，利用合外力为零和牛顿第二定律列方程求解，注意二者之间安培力的联系．

解答 解：（1）以ab棒为研究对象，受重力、弹力、摩擦力和安培力．
当ab沿导轨下滑x=6m时，速度已达到稳定，所以据合外力零，即：Mgsin37°=BIL+μMgcos37° 
设稳定运动的速度为v，所以E=BLV 
即：P=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=12W
联立以上解得：B=2T； v=3m/s
（2）再以ab沿导轨下滑x=6m的过程中分析可知，安培力做功使机械能转化为电能，设克服安培力做功为W．
据动能定理得：Mgxsin37°-μMgxcos37°-W=$\frac{1}{2}M{v}^{2}$
将 v=3m/s带入解得：W=15J
由于两电阻之比为：2：1，据串联电路能量分配可知，ab棒上产生的焦耳热Q=$\frac{2}{3}W$=$\frac{2}{3}×15J$=10J
（3）以cd棒为研究对象，由于达到最大速度，设此时电路的电流为I，所以此时合外力为零，即：
    mgsin53°=（mgcos53°+BIL）μ      ①
此时再对对ab棒受力分析，受重力、摩擦力、安培力及支持力，由牛顿第二定律得：
F_合=Mgsin37°-μMgcos37°-BIL=Ma     ②
联立①②代入数据解得：a=1m/s²
答：（1）磁感应强度B的大小2T；
（2）ab沿导轨下滑x=6m的过程中ab棒上产生的焦耳热10J  
（3）若将ab与cd同时由静止释放，当cd达到最大速度时ab的加速度为1 m/s²．

点评 本题是电磁感应与力学知识的综合，关键是计算安培力的大小和分析能量怎样转化，根据平衡条件和能量守恒进行研究，计算过程中特别注意质量不要带错．