Question

12．雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大．现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞．已知雨滴的初始质量为m₀，初速度为v₀，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m₁．此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为m2、m3…m_m…（设各质量为已知量）．不计空气阻力．
（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度v_n；
（2）若考虑重力的影响，
a．求第1次碰撞前、后雨滴的速度v₁和v₁；
b．求第n次碰撞后雨滴的动能$\frac{1}{2}$m_nv′_n²．

Answer 1

分析 （1）忽略重力与阻力，系统所受合外力为零，动量守恒，由动量守恒定律可以求出速度．
（2）碰撞过程系统动量守恒，应用匀变速运动的速度位移公式与动量守恒定律可以求出速度，然后求出动能．

解答 解：（1）不计重力，全过程中动量守恒，以向下为正方向，由动量守恒定律得：
m₀v₀=m_nv_n′，
解得：v_n′=$\frac{{m}_{0}{v}_{0}}{{m}_{n}}$；
（2）若考虑重力的影响，雨滴下降过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒，以向下为正方向，a、第1次碰撞前，由匀变速运动的速度位移公式得：
v₁²-v₀²=2gl，
解得：v₁=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gl}$，
第1次碰撞过程，由动量守恒定律得：m₀v₁=m₁v₁′，
解得：v₁′=$\frac{{m}_{0}}{{m}_{1}}\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gl}$；
b．第2次碰撞前：v₂²-v₁′²=2gl，
解得：v₂²=（$\frac{{m}_{0}}{{m}_{1}}$）²v₀²+（$\frac{{m}_{0}^{2}+{m}_{1}^{2}}{{m}_{1}^{2}}$）2gl，
第2次碰撞过程，由动量守恒定律得：m₁v₂=m₂v₂′，
解得：v₂′²=（$\frac{{m}_{0}}{{m}_{2}}$）²v₀²+（$\frac{{m}_{0}^{2}+{m}_{1}^{2}}{{m}_{2}^{2}}$）2gl，
同理，第3次碰撞后：v₃′²=（$\frac{{m}_{0}}{{m}_{3}}$）²v₀²+（$\frac{{m}_{0}^{2}+{m}_{1}^{2}+{m}_{2}^{2}}{{m}_{3}^{2}}$）2gl，
 …
第n次碰撞后，v_n′²=（$\frac{{m}_{0}}{{m}_{n}}$）²v₀²+（$\frac{\sum_{i=0}^{n-1}{m}_{i}^{2}}{{m}_{n}^{2}}$）2gl，
动能：E_K=$\frac{1}{2}$m_nv_n′²=$\frac{1}{2{m}_{n}}$（m₀²v₀²+2gl$\frac{\sum_{i=0}^{n-1}{m}_{i}^{2}}{{m}_{n}^{2}}$）；
答：（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度v_n′=$\frac{{m}_{0}{v}_{0}}{{m}_{n}}$；
（2）若考虑重力的影响，a．求第1次碰撞前、后雨滴的速度v₁=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gl}$，v₁′=$\frac{{m}_{0}}{{m}_{1}}\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gl}$；
b．求第n次碰撞后雨滴的动能E_K=$\frac{1}{2{m}_{n}}$（m₀²v₀²+2gl$\frac{\sum_{i=0}^{n-1}{m}_{i}^{2}}{{m}_{n}^{2}}$）．

点评 本题考查了求雨滴的速度与动能问题，分析清楚运动过程，应用动量守恒定律、匀变速运动的速度位移公式即可正确解题，解题时注意数学知识的应用．