Question

8．如图所示，A、B两个小球质量均为2m，小球C质量为m，三球与三根劲度系数均为k的轻质弹簧相连，三个小球均置于粗糙的水平地面上，弹簧与地面不接触，三球与地面间的动摩擦因数均为μ，现在小球C上作用以水平外力F，使三个小球一起向右做匀加速运动，此时三个小球正好构成一个边长为l等边三角形．求：
（1）两根弹簧对C球的作用力合力T大小．
（2）连接A、B和B、C间弹簧的原长l₁、l₂．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律由整体法求得C球运动的加速度，再根据牛顿第二定律求得两根弹簧对C球的作用力的合力T大小；
（2）根据AC、BC间的夹角由合力大小求得弹簧弹力大小，再根据胡克定律求得弹簧的原长．

解答 解：（1）以三个小球整体为研究对象，在水平方向根据牛顿第二定律求得整体运动的加速度满足：
F-μ（m_A+m_B+m_C）g=（m_A+m_B+m_C）a
所以整体运动的加速度为：a=$\frac{F}{5m}-μg$
再以小球C为研究对象，小球C水平方向受到外力F及两个弹簧的弹力作用，则根据牛顿第二定律有：
F-T-μm_Cg=m_Ca
所以弹簧弹力的合力为：T=F-m_Ca-μm_Cg=F-$m（\frac{F}{5m}-μg）$-μmg=$\frac{4}{5}F$
（2）以C球为研究对象有两弹簧弹力F_AC=F_BC，又其合力为T=$\frac{4}{5}F$，两力成60°角，故有：
F_AC=F_BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}T$=$\frac{\sqrt{3}}{3}•\frac{4}{5}F$
根据胡克定律知：F_BC=k（l-l₂）
可得弹簧BC原长为：${l}_{2}=l-\frac{{F}_{BC}}{k}$=$l-\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}•\frac{4}{5}F}{k}$
小球A和小球B的加速度与小球C一致，AB间弹簧处于压缩状态，其弹力大小满足：
${F}_{AB}={F}_{BC}•sin30°=\frac{1}{2}{F}_{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}•\frac{4}{5}F$=k（l₁-l）
可得弹簧AB原长为：l₁=$l+\frac{\sqrt{3}}{6k}•\frac{4}{5}F$=$l+\frac{2\sqrt{3}F}{15k}$
答：（1）两根弹簧对C球的作用力合力T大小为$\frac{4}{5}F$．
（2）连接A、B和B、C间弹簧的原长l₁、l₂分别为$l-\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}•\frac{4}{5}F}{k}$，$l+\frac{2\sqrt{3}F}{15k}$．

点评 根据力的合成求得小球运动时弹簧的受力，再根据胡克定律求得弹簧原长即可．