Question

【题目】（1）如图1所示，固定于水平面的U形导线框处于竖直向下、磁感应强度为B0的匀强磁场中，导线框两平行导轨间距为l，左端接一电动势为E0、内阻不计的电源。一质量为m、电阻为r的导体棒MN垂直导线框放置并接触良好。闭合开关S，导体棒从静止开始运动。忽略摩擦阻力和导线框的电阻，平行轨道足够长。请分析说明导体棒MN的运动情况，在图2中画出速度v随时间t变化的示意图；并推导证明导体棒达到的最大速度为；

（2）直流电动机是一种使用直流电流的动力装置，是根据通电线圈在磁场中受到安培力的原理制成的。如图3所示是一台最简单的直流电动机模型示意图，固定部分（定子）装了一对磁极，旋转部分（转子）装设圆柱形铁芯，将abcd矩形导线框固定在转子铁芯上，能与转子一起绕轴OO（ 转动。线框与铁芯是绝缘的，线框通过换向器与直流电源连接。定子与转子之间的空隙很小，可认为磁场沿径向分布，线框无论转到什么位置，它的平面都跟磁感线平行，如图4所示（侧面图）。已知ab、cd杆的质量均为M、长度均为L，其它部分质量不计，线框总电阻为R。电源电动势为E，内阻不计。当闭合开关S，线框由静止开始在磁场中转动，线框所处位置的磁感应强度大小均为B。忽略一切阻力与摩擦。

a．求：闭合开关后，线框由静止开始到转动速度达到稳定的过程中，电动机产生的内能Q内；

b．当电动机接上负载后，相当于线框受到恒定的阻力，阻力不同电动机的转动速度也不相同。求：ab、cd两根杆的转动速度v多大时，电动机的输出功率P最大，并求出最大功率Pm。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）a．；b．。

【解析】

试题分析：（1）（6分）闭合开关S，导体棒在安培力F=B0Il的作用下开始做加速运动，加速度；导体棒切割磁感线产生反电动势，电流，当速度v增大，电流I减小，安培力F减小，加速度a减小，导体棒做加速度减小的加速运动；当E0 =B0lvm时，电流为零，导体棒速度达到最大，最大速度；此后棒以最大速度vm做匀速运动；v-t示意图如图所示。

（2）a．（7分）设在这个过程中通过杆横截面的电量为Q，稳定时两杆的速度为vm′

根据能量守恒定律 稳定时有 E = 2BLvm′

在很短的时间△t内可认为电流不变，以ab为研究对象

根据动量定理 BIL·△t = △Mv 对整个过程求和有BLQ =Mvm′ 联立以上各式求得

b．（7分）电动机的输出功率P =EI–I2R 求出 当时，输出功率P最大

根据 求出 当时，输出功率P最大

解得 最大功率