Question

12．如图，倾角θ=37°的足够长的斜面上，有一质量M=1.0kg、长度L=2.55m的薄板A，其上表面以ab为分界线由两种不同材料拼接而成（其中ab以上部分光滑、长度为L1=0.75m），下表面下斜面间的动摩擦因数μ₁=0.4．在薄板A的上表面左端放一质量m=1.0kg的小物块B（可视为质点），同时将A、B由静止释放．已知B与A的上表面ab以下部分的动摩擦因数μ₂=0.25，B与斜面间的动摩擦因数μ₃=0.5．认为滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等，物块B从薄板A上滑到斜面上时速度不变，取g=10m/s²，求：（sin37°=0.6）
（1）B在A上滑支的时间；
（2）从AB分离到A在斜面上追上B经历的时间．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律和运动学公式分别求出B在A的上部分和下部分运动时间，再求总时间；
（2）先求出B刚离开薄板时A、B的速度，B滑到斜面上后，根据牛顿第二定律求出A、B的加速度，根据位移时间关系式求出A、B再次相遇的时间；

解答 解：（1）刚释放时，对物体B，设其加速度为${a}_{1}^{\;}$；
$mgsinθ=m{a}_{1}^{\;}$①
对木板A分析有：
$Mgsinθ＜{μ}_{1}^{\;}（m+M）gcosθ$②
B在A的上部分滑动时，A保持静止．设B刚离开上部分时速度为${v}_{1}^{\;}$：
${v}_{1}^{2}=2{a}_{1}^{\;}{L}_{1}^{\;}$③
解得：${v}_{1}^{\;}=3m/s$
B在A的上部分滑动时间为${t}_{1}^{\;}$：
${v}_{1}^{\;}={a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}$④
解得：${t}_{1}^{\;}=0.5s$
B在A的下部分滑动时，设B的加速度为${a}_{2}^{\;}$，A的加速度为${a}_{3}^{\;}$，该过程的时间为${t}_{2}^{\;}$，B的位移为${x}_{1}^{\;}$，A的位移为${x}_{2}^{\;}$；
$mgsinθ-{μ}_{2}^{\;}mgcosθ=m{a}_{2}^{\;}$⑤
$Mgsinθ+{μ}_{2}^{\;}mgcosθ-{μ}_{1}^{\;}（M+m）gcosθ=M{a}_{3}^{\;}$⑥
解得${a}_{2}^{\;}=4m/{s}_{\;}^{2}$，${a}_{3}^{\;}=1.6m/{s}_{\;}^{2}$
${x}_{1}^{\;}={v}_{1}^{\;}{t}_{2}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{2}$⑦
${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{3}^{\;}{t}_{2}^{2}$⑧
${x}_{1}^{\;}-{x}_{2}^{\;}=L-{L}_{1}^{\;}$⑨
解得${t}_{2}^{\;}=0.5s$
B在A上滑行的时间为t：
$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=1s$⑩
（2）设物块B离开薄板A时，物块B和薄板A的速度分别为${v}_{2}^{\;}$和${v}_{3}^{\;}$
${v}_{2}^{\;}={v}_{1}^{\;}+{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{\;}$⑪
${v}_{3}^{\;}={a}_{3}^{\;}{t}_{2}^{\;}$⑫
解得：${v}_{2}^{\;}=5m/s$    ${v}_{3}^{\;}=0.8m/s$
B滑到斜面上后，设B的加速度为${a}_{4}^{\;}$，A的加速度为${a}_{5}^{\;}$：
$mgsinθ-{μ}_{3}^{\;}mgcosθ=m{a}_{4}^{\;}$⑬
$Mgsinθ-{μ}_{1}^{\;}Mgcosθ=M{a}_{5}^{\;}$⑭
${a}_{4}^{\;}=2m/{s}_{\;}^{2}$，${a}_{5}^{\;}=2.8m/{s}_{\;}^{2}$
B滑到斜面上后到A、B再次相遇时间为${t}_{3}^{\;}$，位移为${x}_{3}^{\;}$：
${x}_{3}^{\;}={v}_{2}^{\;}{t}_{3}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{4}^{\;}{t}_{3}^{2}$⑮
${x}_{3}^{\;}={v}_{3}^{\;}{t}_{3}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{5}^{\;}{t}_{3}^{2}$⑯
${t}_{3}^{\;}=10.5s$⑰
答：（1）B在A上滑动的时间1s；
（2）从AB分离到A在斜面上追上B经历的时间10.5s．

点评 本题是多过程问题，采用程序法进行分析，关键要分析清楚物体运动过程是正确解题的前提与关键，应用牛顿第二定律、运动学公式即可正确解题．