Question

17．如图甲所示，倾角θ为37°的传递带以恒定速度逆时针运行，现将一质量m=2kg的小物体轻轻放上传送带的A端，物体相对地面的速度随时间变化的关系如图乙，2s末物体到达B端，取沿传送带向下为正方向，g=10m/s²，sin37°=0.6，求：

（1）小物体在传送带A、B间的平均速度v；
（2）物体与传送带间的动摩擦因数μ；
（3）2s内物体机械能的变化量△E及因与传送带摩擦产生的内能Q．

Answer 1

分析 （1）物块轻放上传送带，开始所受的摩擦力沿斜面向下，当速度相等后，摩擦力沿传送带向上，从A到B做加速度不同的匀加速直线运动，根据速度时间图线与时间轴之间的面积求出位移，然后由：$\overline{v}=\frac{l}{t}$求出平均速度；
（2）求出0-1s内的加速度，从而得出合力的大小，求出速度相等后的加速度，结合牛顿第二定律求出动摩擦因数的大小．
（3）分别求出物体与传送带0-2s内的位移，由机械能的定义即可求出机械能的变化；求出相对运动的路程大小，最后求出摩擦产生的热量．

解答 解：（1）由v-t图象的面积规律可知传送带A、B间的距离L即为v-t图线与t轴所围的面积，所以：
$L=\frac{{v}_{1}}{t}•{t}_{1}+\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}{t}_{2}$，
代入数值得：L=16m
由平均速度的定义得：$v=\frac{L}{t}=\frac{16}{2}=8$m/s  
（2）由v-t图象可知传送代运行速度为v₁=10m/s，0-1s内物体的加速度为：${a}_{1}=\frac{△v}{△t}=\frac{10}{1}m/{s}^{2}=10m/{s}^{2}$，
则物体所受的合力为：F_合=ma₁=2×10N=20N．
1-2s内的加速度为：${a}_{2}=\frac{2}{1}=2m/{s}^{2}$，
根据牛顿第二定律得：${a}_{1}=\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}$=gsinθ+μgcosθ，
${a}_{2}=\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{m}$=gsinθ-μgcosθ
联立两式解得：μ=0.5，θ=37°．
（3）0-1s内，物块的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}×10×1m=5m$，
传送带的位移为：x₂=vt₁=10×1m=10m
则相对位移的大小为：△x₁=x₂-x₁=5m，
则1-2s内，物块的位移为：${x}_{3}=v{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$=$10×1+\frac{1}{2}×2×1m=11m$，
0-2s内物块向下的位移：L=x₁+x₃=5+11=16m
物块下降的高度：h=Lsin37°=16×0.6=9.6m
物块机械能的变化量：$△E=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-mgh$=$\frac{1}{2}×2×1{2}^{2}-2×10×9.6$=-48J
负号表示机械能减小．
1-2s内传送带的位移为：x₄=vt₂=10m，
则物块相对位移的大小为：△x₂=x₃-x₄=1m，
所以相对路程的大小为：△s=△x₁+△x₂=6m，
摩擦产生的热量为：Q=μmgcosθ•△s=0.5×20×0.8×6J=48J．
答：（1）0～1s内物体所受的合外力大小为20N；
（2）小物块与传送带之间的动摩擦因数为0.5；
（3）在0～2s内物块的机械能减小48J，由于小物块与皮带间的摩擦所产生的热量为48J．

点评 该题考查传送带问题，解决本题的关键理清物块在传送带上的运动规律，结合牛顿第二定律、功能关系和运动学公式综合求解．