Question

游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来（如图1）．我们把这种情况抽象为图2的模型：弧形轨道的下端与竖直圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端无初速滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动，其中M、N分别为圆轨道的最低点和最高点．实验发现，只要h大于一定值，小球就可以顺利通过圆轨道的最高点．如果已知圆轨道的半径为R=5.0m小球质量为m=1.0kg（不考虑摩擦等阻力）问：

（1）h至少为多大？才可使小球沿圆轨道运动而不掉下来．
（2）如果h=15m，小球通过M点时的速度为多大？此时轨道对小球的支持力为多大？
（3）高度h大，小球滑至N点时轨道对小球的压力F_N越大，试推出F_N于h函数关系式．

Answer 1

分析：小球恰能通过最高点，那么小球在最高点时应该是恰好是物体的重力作为物体的向心力，由向心力的公式可以求得此时的最小的速度，再由机械能守恒可以求得离地面的高度h．
根据机械能守恒求得小球在M点的速度，根据牛顿第二定律可求得轨道对小球的支持力

解答：解：（1）小球恰能通过N点，即小球通过最高点时恰好不受轨道的压力，重力提供向心力，
即应满足：mg=

m v 2 N

R

         
小球运动到最高点的过程中，只有重力做功，由机械能守恒定律：mg(h-2R)=

1

2

m

v

2 N

解得：h=

5

2

R=12.5m
（2）由机械能守恒定律：mgh=

1

2

m

v

2 M

，解得v_M=17m/s
牛顿第二定律：F_M-mg=

m v 2 M

R

代入数据，解得：F_M=70N
（3）小球由静止运动到最高点的过程中，机械能守恒，则：mg(h-2R)=

1

2

m

v

2 N

小球在最高点，在重力和轨道的压力下作圆周运动，根据牛顿第二定律：
F_N+mg=

m v 2 N

R

解得：F_N=

2mgh

R

-5mg=4h-50（h≥12.5m）  
答：（1）h至少为12.5m时，才可使小球沿圆轨道运动而不掉下来．
（2）如果h=15m，小球通过M点时的速度为17m/s，此时轨道对小球的支持力为70N；
（3）推出F_N于h函数关系式：F_N=4h-50（h≥12.5m）

点评：本题属于圆周运动中绳的模型，在最高点时应该是重力恰好作为圆周运动的向心力，对于圆周运动中的两种模型一定要牢牢的掌握．