Question

13．如图，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m的小物块．求（已知重力加速度为g）
①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；
②当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，圆锥筒转动的角速度．

Answer 1

分析 （1）物体受重力、支持力和静摩擦力，根据平衡条件求解静摩擦力和支持力；
（2）物体受重力和支持力，合力提供向心力，根据平行四边形定则求解出合力，根据向心力公式列式求解筒转动的角速度；

解答 解：当筒不转动时，物块静止在筒壁A点时受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，由平衡条件得摩擦力的大小为：
f=mgsinθ=mg$\frac{H}{\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$
支持力的大小为：N=mgcosθ=mg$\frac{R}{\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$
②当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A点时受到的重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为ω，有：mgtanθ=mω²•$\frac{R}{2}$
由几何关系得：tanθ=$\frac{H}{R}$
联立以上各式解得：ω=$\frac{\sqrt{2gH}}{R}$
答：①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力为mg$\frac{H}{\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$，支持力为mg$\frac{R}{\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$；
②当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，圆锥筒转动的角速度为$\frac{\sqrt{2gH}}{R}$．

点评 本题是圆锥摆类型．明确匀速圆周运动中是指向圆心的合力等于向心力，其实是牛顿第二定律的运用，关键是受力分析后根据牛顿第二定律列方程求解，同时要注意数学知识在物理学中的应用．