Question

14．如图所示，光滑绝缘斜面的坡度为30°，其下端与半径为R的光滑绝缘半圆轨道平滑连接．现在使一带正电且质量为m的小球从斜面上的A点由静止释放，进入圆轨道后沿圆轨道运动．已知空间存在竖直向上的匀强电场，它对小球的电场力为其重力的一半．试求：
（1）若小球能到达圆轨道的最高点，则释放点离地面的高度至少为多少？
（2）若小球释放点离地高度为4R，则此后小球对轨道的最大压力为多少？
（3）若小球从圆轨最高点飞出后恰能垂直地打在斜面上，则释放点离地面的高度应为多少？

Answer 1

分析 （1）小球刚好能到达圆轨道的最高点时，由重力和电场力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求得小球通过最高点的速度，再由动能定理即可求得释放点离地面的高度；
（2）小球能到达圆轨道的最低点时速度最大，小球对轨道的压力最大，由动能定理和牛顿第二定律结合解答．
（3）小球从圆轨最高点飞出后做类平抛运动，根据垂直地打在斜面上时速度方向，由运动的分解法求出小球通过圆轨最高点的速度，再由动能定理求释放点离地面的高度．

解答 解：（1）若小球能到达圆轨道的最高点，其速度v满足：
mg-qE=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
又 qE=$\frac{1}{2}$mg
得：v=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
从释放到过圆轨道最高点的过程，由动能定理得：
（mg-qE）（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0
解得：h=2.5R
（2）小球能到达圆轨道的最低点时速度最大，小球对轨道的压力最大．从释放到最低点的过程，由动能定理得：
（mg-qE）H=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
在最低点，由牛顿第二定律得：
N-mg+qE=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
联立解得：N=$\frac{9}{2}$mg
由牛顿第三定律得小球对轨道的最大压力为：N′=N=$\frac{9}{2}$mg
（3）设小球从圆轨最高点飞出后恰能垂直地打在斜面上时，通过圆轨道最高点的速度大小为v₂．类平抛运动的时间为t，加速度为a．斜面的倾角为α．
根据牛顿第二定律得 mg-qE=ma，得：a=$\frac{1}{2}g$
由题意知，小球垂直地打在斜面上时速度与竖直方向的夹角为：θ=α=30°
则有  tanθ=$\frac{{v}_{2}}{at}$
水平方向有 x=v₂t
竖直方向有 h′=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
由几何关系可得：tanα=$\frac{2R-h′}{x}$
联立解得 v₂=$\sqrt{\frac{2}{5}gR}$
从释放到过圆轨道最高点的过程，由动能定理得：
（mg-qE）（H-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-0
解得 H=2.4R
答：（1）若小球能到达圆轨道的最高点，则释放点离地面的高度至少为2.5R．
（2）若小球释放点离地高度为4R，则此后小球对轨道的最大压力为$\frac{9}{2}$mg．
（3）若小球从圆轨最高点飞出后恰能垂直地打在斜面上，则释放点离地面的高度应为2.4R．

点评 本题是向心力、类平抛运动与动能定理等知识的综合，关键要抓住物块恰能通过最高点的临界条件，运用运动的分解法研究类平抛运动．