Question

14．如图所示，两个倾角均为θ的光滑斜面固定在水平面上．甲、乙两个相同的小球（均视为质点）从斜面顶端同时以相同的速率v₀分别向左水平抛出和沿斜面下滑，甲球不会落到斜面上，下列说法正确的是（　　）

• A． 两球到达水平面时的动能相等
• B． 两球到达水平面时重力做功的功率相等
• C． 无论如何调节v₀的值，乙球一定先到达水平面
• D． 若甲球恰好落至斜面底端，则甲球到达底端时的速度方向与水平方向的夹角为2θ

Answer 1

分析 两球运动过程中，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律分析到达水平面时动能的关系．根据P=mgv_y，v_y是竖直分速度，分析两球到达水平面时重力做功的功率的关系．根据运动学公式分析运动时间关系．由平抛运动的规律求甲球恰好落至斜面底端，速度方向与水平方向的夹角．

解答 解：A、设斜面的高度为h．根据机械能守恒定律得
  mgh=E_k-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
则得，小球落到水平面时的动能 E_k=mgh+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，可知两球到达水平面时的动能相等．故A正确．
B、重力做功的功率P=mgv_y，v_y是竖直分速度，由于两球到达水平面时竖直分速度不一定相等，所以两球到达水平面时重力做功的功率不一定相等．故B错误．
C、对于甲球，落在水平面上与落在斜面底端的时间相等．甲球落在斜面上时，将其运动沿斜面方向和垂直于斜面方向分解，沿斜面的分初速度为v₀cosθ，分加速度为gsinθ．甲球沿斜面方向做初速度为v₀cosθ、加速度为gsinθ的匀加速运动．设斜面的长为L，则沿斜面方向有 L=v₀cosθt_甲+$\frac{1}{2}$gsinθ${t}_{甲}^{2}$．
对于乙球，加速度大小为 a=gsinθ，则有 L=v₀t_乙+$\frac{1}{2}$gsinθ${t}_{乙}^{2}$．
对比可得，t_乙＜t_甲，可知，无论如何调节v₀的值，乙球一定先到达水平面，故C正确．
D、设甲球到达底端时的速度方向与水平方向的夹角为α，则有
  tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
又tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{{v}_{y}}{2}t}{{v}_{0}t}$=$\frac{{v}_{y}}{2{v}_{0}}$，则有 tanα=2tanθ，α≠2θ，故D错误．
故选：AC

点评 解决本题的关键知道平抛运动水平方向和竖直方向上的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合分析．