Question

如图（甲）所示，金属“U”型轨导一部分固定在水平面上，长为l = 1.5m、宽为d = 2.0m，另一部分与水平面夹角为θ=30°，右端接有电阻R = 3Ω。在水平导轨右侧x = 1.0m范围内存在垂直斜面向上的匀强磁场，且磁感应强度B随时间t变化规律如图（乙）所示。在t = 0时刻，质量为m = 0.1kg电阻为r = 1Ω的导体棒以v₀ = 2m/s的初速度从导轨的左端开始向右运动，导体棒与水平导轨之间的动摩擦因数为μ = 0.1，与倾斜导轨间的摩擦不计。不计导体棒与导轨之间的接触电阻及地球磁场的影响（取g = 10m/s²）。

（1）在导体棒进入磁场时立即施加一沿斜面向上的拉力可以使它做匀速直线运动，这个力应多大？

（2 ）通过计算画出2s内回路电流随时间变化的图像；

（3）从t = 0时刻开始直到棒第一次离开磁场的过程中回路产生的总热量是多少？

Answer 1

【解析】  （1）在棒进入磁场前只受滑动摩擦力作用，做匀减速运动：

由牛顿运动定律有  μmg = ma，a=1m/s²；     （1分）

由运动学公式 v_t²－v₀² = 2al得：

棒进入磁场前的速度为  v_t=1m/s；   （1分）

又由v_t－v₀ = at得：

棒进入磁场前的运动时间  t = 1s；      （1分）

即棒进入磁场时，所在区域的磁场已恒定。

此时棒中的感应电动势  E₁ = Bdv_t = 0.8V，感应电流 I₁ =  = 0.2A         （2分）

棒进入磁场区域后做匀速直线运动，由平衡条件得：

沿斜面向上的拉力满足  F = mgsin θ + F_安，F_安 = BId，        （2分）

解得：F=0.66N      （1分）

（2）根据图（乙）知：

①回路在0~0.5s内的感应电动势  E₂ = ·S =  ·xd = 1.6V，        （1分）

感应电流 I₂ =  = 0.4A，逆时针方向。      （1分）

②在0.5~1s 内，回路中没有电流。

③棒在磁场中的运动时间 t₂ =  = 1s，     （1分）

则在1~2s内，回路中电流I₁ = 0.2A，方向不变。

综合得，0~2s内回路电流随时间变化的图像如右图。（3分）

（3）0~0.5s内焦耳热：Q₁=I₂²(R+r)t₁ = 0.4²×4×0.5J = 0.32J，    （2分）

1~2s内焦耳热：Q₂=I₁²(R+r)t₂ = 0.2²×4×1J = 0.16J，   （1分）

全程摩擦热：Q₃ = μmgl = 0.1×1×1.5J = 0.15J，    （2分）

整个过程中回路产生的总热量是Q = Q₁ + Q₂ + Q₃ = 0.63J。   （1分）