Question

16．如图甲所示，有一粒子源发射具有沿轴线ABO方向，速度大小不同的粒子，粒子质量均为m，带电荷量均为q（q＞0）．A、B是两个阀门，阀门后是一对平行极板，两极板间距为2d，上极板接地，下极板的电势随时间变化关系如图乙所示．O处是一与轴线垂直的接收屏，以O为原点，垂直于轴线ABO向上为y坐标轴正方向．不同速度的粒子打在接收屏上对应不同的坐标，其余尺寸见图．已知关系式$\frac{{U}_{0}q}{2dm}$t²=$\frac{1}{5}$d．某时刻A开启，$\frac{t}{2}$后关闭，又经过$\frac{t}{2}$后B开启，再过$\frac{t}{2}$后B也关闭，以B开启的时刻作为图乙中计时零点．（不计粒子重力和粒子间的相互作用力）

（1）求能穿过A和B的粒子的最大速度和最小速度；
（2）上述两类粒子打在接收屏上的y坐标．

Answer 1

分析 （1）能穿过阀门B的最短时间为$\frac{t}{2}$，对应最大速度v_max=$\frac{l}{\frac{t}{2}}$；能穿过阀门B的最长时间为$\frac{3}{2}$t，对应最小速度 v_min=$\frac{l}{\frac{3t}{2}}$．
（2）据题，A、B间不加电压，粒子在AB间做匀速直线运动．粒子进入平行极板后做类平抛运动，将其运动进行正交分解，由水平方向的匀速运动规律求出粒子通过电场的时间，由牛顿第二定律和运动学公式彁求出粒子在电场中的偏转距离和偏转角度．粒子离开电场后做匀速直线运动，由数学知识求解此粒子打在y轴上的坐标位置y．

解答 解：（1）能穿过阀门B的最短时间为$\frac{t}{2}$，对应最大速度v_max=$\frac{l}{\frac{t}{2}}$=$\frac{2l}{t}$；①
能穿过阀门B的最长时间为$\frac{3}{2}$t，对应最小速度 v_min=$\frac{l}{\frac{3t}{2}}$=$\frac{2l}{3t}$．  ②
（2）速度最大的粒子t=0时刻到达B孔，$\frac{1}{2}$t时刻进入偏转板，在板间运动时间$\frac{1}{2}$t，
此段时间内垂直板方向的加速度  a₁=$\frac{2q{U}_{0}}{2dm}$　　　③
侧移　　　　　　　　　　　　y₁=$\frac{1}{2}$a₁（$\frac{1}{2}$t）²    ④
由③④得　　　　　　　　　　y₁=$\frac{1}{20}$d　

设打在荧光屏上的坐标Y₁
$\frac{{Y}_{1}}{{y}_{1}}=\frac{\frac{1}{2}l+l}{\frac{1}{2}l}$　　　⑤
得：Y₁=$\frac{3}{20}$d　　　
速度最小的粒子$\frac{1}{2}$t时刻到B孔，2t时刻到偏转板，在偏转板中运动时间$\frac{3}{2}$t垂直板
方向以a₁加速度加速运动t时间，再以a₂大小的加速度减速运动$\frac{1}{2}$t时间．
a₂=$\frac{q{U}_{0}}{2dm}$　　　　⑥
侧移　y₂=$\frac{1}{2}$a₁t²+（a₁t）×$\frac{t}{2}$-$\frac{1}{2}$a₂（$\frac{t}{2}$）²　　　　⑦
得：y₂=$\frac{3}{8}$d　　
飞出电场后的侧移　y₂′=（a₁t-a₂×$\frac{t}{2}$）×$\frac{3}{2}$t　　⑧
得：y₂′=$\frac{9}{20}$d　
打在荧光屏上的坐标　　　　　Y₂=y₂+y₂′⑨
得：Y₂=$\frac{33}{40}$d
答：（1）能穿过阀门B的粒子的最大速度为$\frac{2l}{t}$，最小速度为$\frac{2l}{3t}$．
（2）上述两类粒子打到接收屏上的y坐标分别是$\frac{3}{20}$d，$\frac{33}{40}$d．

点评 本题带电粒子先偏转后匀速的类型，关键要分析粒子的运动情况，对类平抛运动会进行分解，结合几何知识进行求解．