Question

16．早在2011年，中国自行研制的“神舟八号飞”船与“天宫一号”目标飞行器实现对接，对接前，“神州八号”在较低轨道上绕地球作匀速圆周运动，在适当的位置，使“神州八号”加速，并使之运动到“天宫一号”所在的位置实现对接，已知地球的半径为R，对接前，“天宫一号”绕地球作匀速圆周运动，且距离地面的高度为h，地球表面的重力加速度为g，由以上信息可知，下列说法正确的是（　　）

• A． 对接前，“天宫一号”的加速度大小为g$\sqrt{\frac{R}{R+h}}$
• B． 对接前，“天宫一号”的速度大小为R$\sqrt{\frac{g}{R+h}}$
• C． 对接后，它们运动的速度大小为h$\sqrt{\frac{g}{R+h}}$
• D． 对接后，它们运动的周期大小为$\frac{2π（R+h）}{R}$$\sqrt{\frac{R+h}{g}}$

Answer 1

分析 在地球表面重力与万有引力相等，卫星绕地球圆周运动万有引力提供圆周运动向心力分析对接前后描述圆周运动物理量之间的关系．

解答 解：在地球表面有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$可得GM=gR²
A、对接前万有引力提供圆周运动向心力有$G\frac{mM}{（R+h）^{2}}=ma$可得天宫一号的加速度a=$\frac{GM}{（R+h）^{2}}=\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}g$，故A错误；
B、对接前万有引力提供圆周运动向心力有$G\frac{mM}{（R+h）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{（R+h）}$可得天宫一号的线速度$v=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}=R\sqrt{\frac{g}{R+h}}$，故B正确；
C、对接前后天宫一号所在位置不变，故线速度大小为$R\sqrt{\frac{g}{R+h}}$，故C错误；
D、根据万有引力提供圆周运动向心力有$G\frac{mM}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$可得对接后整体的周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{GM}}$=2π$\frac{R+h}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$，故D正确．
故选：BD．

点评 解决本题的关键是抓住万有引力提供圆周运动向心力，能根据黄金代换灵活求解．万有引力提供向心力和万有引力与星球表面重力相等是解决问题的关键着手点．