Question

如图所示，左侧为一个半径为R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑。右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°。一根不可伸长、不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上，线的两端分别系有可视为质点的小球m₁和m₂，且m₁＞m₂。开始时m₁恰在碗口水平直径右端A处，m₂在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直。当m₁由静止释放运动到圆心O的正下方B点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失。

（1）m₁由静止释放运动到圆心O的正下方B点时m₁和m₂的速度大小之比

（2）求小球m₂沿斜面上升的最大距离s；

（3）若已知细绳断开后小球m₁沿碗的内侧上升的最大高度为，求两球质量之比。

Answer 1

（1）（2）  （3）

（1）设重力加速度为g，小球m₁到达最低点B时m₁、m₂速度大小分别为v₁、v₂，由运动合成与分解得     ①

（2）对m₁、m₂组成的系统由功能关系得：

     ②

根据几何关系得：h＝Rsin 30°     ③ks5u

设细绳断后m₂沿斜面上升的距离为s′，对m₂由机械能守恒定律得

     ④

根据几何关系得：小球沿斜面上升的最大距离s＝R＋s′    ⑤

联立①②③④⑤解得       ⑥

（3）对m₁由机械能守恒定律得：       ⑦

联立①②③⑦得