Question

2．如图所示，一束平行单色光照射到半圆形玻璃砖的侧平面上，光线与平面的夹角为45°，从圆心O入射的光线经折射后刚好射到圆弧面上的P点，圆弧的半径为R，P点到平面MN的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，求：
①圆弧面上被光照射部分的弧长．
②圆弧面上有光射出部分的弧长．

Answer 1

分析 ①先根据几何知识求出折射角，再由几何关系求圆弧面上被光照射部分的弧长．
②由折射定律求出折射率．在圆弧面上有光射出部分的边缘光线恰好发生全反射，由sinC=$\frac{1}{n}$求出临界角，再结合几何关系求圆弧面上有光射出部分的弧长．

解答 解：①设光线在MN面上折射角为r．
由几何知识得：sin∠PON=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}R}{R}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠PON=60°
所以 r=30°
从M射入的光线折射到A点，圆弧面上被光照射部分是AN．
由几何关系可得：∠AOM=60°
所以圆弧面上被光照射部分的弧长 s₁=$\widehat{AN}$=$\frac{2}{3}π$R
②根据折射定律 n=$\frac{sini}{sinr}$得
  n=$\frac{sin45°}{sin30°}$=$\sqrt{2}$
设光线恰好在圆弧面上E点和F点发生全反射．临界角为C．
则 sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，C=45°
则圆弧面上有光射出部分的弧长 s₂=$\widehat{EF}$．
由几何关系有：
∠EOM=180°-60°-45°=75°
∠FON=180°-120°-45°=15°
则∠EOF=180°-∠EOM-∠FON=90°
所以 s₂=$\frac{π}{2}$R
答：
①圆弧面上被光照射部分的弧长是$\frac{2}{3}π$R．
②圆弧面上有光射出部分的弧长是$\frac{π}{2}$R．

点评 本题的关键要理解光的全反射条件和临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$，运用数学几何知识求相关的角度和长度，结合折射定律研究．