Question

（2008?福建模拟）滑板运动是一项陆地上的“冲浪运动”滑板运动员可在不同的滑坡上滑行，做出各种动作，给人以美的享受．如图甲所示，abcdef为同一竖直平面上依次平滑连接的滑行轨道，其中ab段水平，H=3m，bc段和cd段均为斜直轨道，倾角θ=37⁰，de段是一半径R=2.5m的四分之一圆弧轨道，0点为圆心，其正上方的d点为圆弧的最高点．滑板及运动员的总质量m=60kg，运动员滑经d点时轨道对滑板支持力用Nd表示．忽略摩擦阻力和空气阻力，取g=10m/s2，sin 37°=0.6，eos 37°=0.8．除下述问题（3）中运动员做缓冲动作以外，均可把滑板及运动员视为质点．
（1）若运动员从bc 段紧靠b处无初速度滑下，求N_d的大小．
（2）运动员逐渐减小从bc上无初速度下滑时距水平地面的高度h，请在图乙的坐标系中作出N_d-h图象（只根据作出的图象评分，不要求写出计算过程和作图依据）．
（3）运动员改为从b点以v₀=4m/s的速度水平滑出，落在bc上时通过短暂的缓冲动作使他沿斜面方向继续滑行，则他是否会从d点滑离轨道？请通过计算得出结论．

Answer 1

分析：（1）运动员从开始滑下至滑到d点，由机械能守恒定律求出d点速度，根据牛顿第二定律求出轨道对滑板支持力．
（2）根据N_d-h的关系式作图．
（3）运动员离开b点做平抛运动，落在斜面上时，竖直方向上的位移和水平方向上的位移的比值等于tanθ，根据这一关系求出运动的时间，从而求出落在斜面上时在竖直方向上的分速度．落在bc上时通过短暂的缓冲动作使他只保留沿斜面方向的速度继续滑行，对落地点的速度沿垂直斜面方向和沿斜面方向正交分解，求出沿斜面方向的分速度，即为沿斜面滑行的速度，然后根据动能定理求出d点的速度，与d点的临界速度进行比较，判断是否会从d点滑离轨道．

解答：解：（1）运动员从开始滑下至滑到d点，由机械能守恒定律得：
mg（H-R）=

1

2

mv²
在d点，根据牛顿第二定律得：
mg-N_d=

mv2

R

解得：N_d=mg（1-

2(H-R)

R

）=360N
（2）根据N_d=mg（1-

2(H-R)

R

）作出N_d-h图象如图甲所示．
（3）当以v₀=4m/s的速度从b点水平滑出时，运动员做平抛落在Q点，如图乙所示，
设bQ=x，则有
xsin37°=

1

2

gt²
xcos37°=v₀t
解得：t=0.6 S
v_y=gt=6m/s
在Q点缓冲后，在Q的速度
从Q→d根据机械静守恒定律，有：
mg（H-

1

2

gt²）-mgR=

1

2

mv_d²-

1

2

mv_Q²
运动员恰从d点滑离轨道应满足mg=m

v′ 2 d

2

解得：

v′

2 d

-

v

2 d

=4.76 即 v_d＜v_d′
可见滑板运动员不会从圆弧最高点d滑离轨道．
答：（1）若运动员从bc 段紧靠b处无初速度滑下，N_d的大小是360N．
（2）如上图
（3）滑板运动员不会从圆弧最高点d滑离轨道．

点评：解决本题的关键知道平抛运动落在斜面上，竖直方向上的位移和水平方向上的位移的比值是定值，根据该关系可求出时间．以及在外轨道做圆周运动，最高点有最大速度，此时正压力为0，有mg=m

v′ 2 d

2

．