Question

有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度，已知该单摆在海平面处的周期是T₀，当气球停在某一高度时，测得该单摆的周期为T.求该气球此时离海平面的高度h，把地球看作质量分布均匀的半径为R的球体.下面分别是甲、乙、丙三位同学对本题的解答，你认为是否正确？若不正确，请说明理由，并给出正确解法和结果.

甲：因为G=m()²R

G=m()²(R+h)

所以h=R［()-1］

乙：因为G=mg₀  G=mg且T₀=2π,T=2π

所以h=R［()-1］.

丙：因为mω²R=mg₀,mω²(R+h)=mg且T₀=2π,T=2π

所以h=R［()²-1］.

Answer 1

甲、乙、丙三种解法均不正确，求得h=(-1)R

解析：甲同学把单摆振动周期与地球自转周期、气球绕地心做圆周运动的周期混淆导致错解.

乙同学将单摆的摆长与地球半径、气球绕地心做圆周运动的轨道半径混淆导致错解.

丙同学误认为地球的自转角速度与气球绕地心做圆周运动的角速度相同而导致错解.

正确解法如下：根据单摆周期公式有

T₀=2π  T=2π

其中L是单摆的摆长，g₀和g分别是两地点的重力加速度.由万有引力等于物体的重力，即mg′=G,则g₀=  g=G  (G为引力常量，M为地球质量)

联立上述公式解得：h=(-1)R.