Question

13．如图所示，在水平地面上有一段光滑圆弧形槽NM，弧的半径是R，所对圆心角很小，现在圆弧的右侧边缘M处放一个小球A，使其由静止下滑，则：
①小球由M至O的过程中所需时间t为多少？在此过程中能量如何转化（定性说明）？
②若在MN圆弧上存在两点P、Q，且P、Q关于O对称，且已测得小球A由P直达Q所需时间为△t，则小球由Q至N的最短时间为多少？

Answer 1

分析 由题意知，光滑圆弧形槽弧的半径是R，所对圆心角很小，小球A在MN两点间做简谐运动，类似于摆长为R的单摆，小球A从M到O的时间为$\frac{1}{4}$周期，周期T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$，在由A→O的过程中球A的重力势能转化为动能；
小球A在PQ两点间做简谐运动，类似于摆长为R的单摆，P、Q关于O对称，从Q到O的时间为$\frac{△t}{2}$．

解答 解：①由单摆周期公式知球A的周期为：T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$，则有：t_MO=$\frac{1}{4}$T=$\frac{π}{2}$$\sqrt{\frac{R}{g}}$，在由M→O的过程中球A的重力势能转化为动能；
②A做简谐运动，周期为：T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
则球由Q至N的最短时间为：t_min=$\frac{1}{4}$T-$\frac{△t}{2}$=$\frac{π}{2}$$\sqrt{\frac{R}{g}}$-$\frac{△t}{2}$．
答：①小球由M至O的过程中所需时间为$\frac{π}{2}$$\sqrt{\frac{R}{g}}$，在此过程中球A的重力势能转化为动能；
②小球由Q至N的最短时间为$\frac{π}{2}$$\sqrt{\frac{R}{g}}$-$\frac{△t}{2}$．

点评 光滑圆弧形槽所对圆心角小于10°时类似单摆，做简谐运动，等效摆长等于半径，具有周期性，注意对称性的运用．