Question

如图所示，现在有一个小物块，质量为m=80g，带上正电荷q=2×10^-4C．与水平的轨道之间的滑动摩擦系数μ=0.2，在一个水平向左的匀强电场中，E=10³V/m，在水平轨道的末端N处，连接一个光滑的半圆形轨道，半径为R=40cm，取g=10m/s²，求：
（1）小物块能够运动到轨道的最高点，那么小物块应该从水平哪个位置释放？
（2）如果在上小题的位置释放小物块，当它运动到P（轨道中点）点时对轨道的压力等于多少？
（3）同位置释放，当物体运动到N点时，突然撤去电场，加一磁场B=2T，垂直纸面向里，能否运动到L点？如果最后运动能到水平面MN之间，则速度为多少？

Answer 1

分析：（1）当物块恰好通过轨道最高点时，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出速度．从物块释放到运动到轨道最高点的过程中，重力做功-2mgR，电场力做功qEs，滑动摩擦力做功-μmgs，根据动能定理求出物块释放位置到N点的距离s．
（2）根据动能定理求出物块滑到P点时的速度．以物块为研究对象，在P点时由电场力qE与轨道的支持力F_N的合力提供向心力，列方程求解支持力，再由牛顿第三定律求出压力．
（3）假设物块能到达最高，此过程只有重力做功，物块的机械能守恒，速度等于没有磁场时的速度，但物块受到向下的洛伦兹力，提供的向心力大于所需要的向心力，物块不能到达最高点．运动到MN水平面的时，重力作功为0，洛伦磁力作功为0，根据动能定理求解运动能到水平面MN上速度．

解答：解：
（1）物块能通过轨道最高点的条件是
       mg=m

v2

R

   得到v=2m/s 
从物块释放到运动到轨道最高点的过程中，根据动能定理得：
       qEs-μmgs-mg?2R=

1

2

mv2
代入解得s=20m
（2）物块P到Q点的过程，由动能定理得
-mgR-qER=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 P

  代入解得  vp=

14

m/s
P点：F_N-qE=m

v 2 P

R

解得轨道对物块的弹力为F_N=3.0N
由牛顿第三定律毛发对轨道的压力等于F_N′=3.0N．
（3）不能达到，假设能到最高点，物块速度为v=2m/s，除重力以外还受到洛伦磁力的作用，提供的向心力大于圆周运动所需向心力．
运动到MN水平面的时，重力作功为0，洛伦磁力作功为0，设速度为v_N．
根据能量守恒得  Eqs=μmgs+

1

2

m

v

2 N

解得v_N=2

5

m/s
答：（1）小物块能够运动到轨道的最高点，小物块应该从水平面上距离N点20m的位置释放；
    （2）物块运动到P点时对轨道的压力等于3.0N；
    （3）同位置释放，当物体运动到N点时，突然撤去电场，加一磁场B=2T，垂直纸面向里，不能运动到L点．运动能到水平面MN之间时的速度为2

5

m/s．

点评：本题动能定理与牛顿运动定律的综合应用，题目较长，但过程不复杂，只要耐心和细心，不应出错．