Question

如图所示，水平地面上方有一高度为H、上、下水平界面分别为PQ、MN的匀强磁场，磁感应强度为B．矩形导线框ab边长为l₁，bc边长为l₂，导线框的质量为m，电阻为R．磁场方向垂直于线框平面向里，磁场高度H＞l₂．线框从某高处由静止落下，当线框的cd边刚进入磁场时，线框的加速度方向向下、大小为

3g

5

；当线框的cd边刚离开磁场时，线框的加速度方向向上、大小为

g

5

．在运动过程中，线框平面位于竖直平面内，上、下两边总平行于PQ．空气阻力不计，重力加速度为g．求：
（1）线框的cd边刚进入磁场时，通过线框导线中的电流；
（2）线框的ab边刚进入磁场时线框的速度大小；
（3）线框abcd从全部在磁场中开始到全部穿出磁场的过程中，通过线框导线横截面的电荷量．

Answer 1

分析：（1）线框的cd边刚进入磁场时，受到重力和竖直向上的安培力作用，根据牛顿第二定律和安培力公式F=BIl结合求解电流．
（2）当线框的cd边刚离开磁场时，由牛顿第二定律得到电流表达式，由欧姆定律I=

E

R

=

BLv

R

得到速度的关系式．当ab进入磁场后，线框做匀加速运动，加速度为g，通过位移H-l₂时ab离开磁场，由运动学公式求解线框的ab边刚进入磁场时线框的速度大小．
（3）由E=

△?

△t

、I=

E

R

、q=I△t结合求解电量．

解答：解：（1）设线框的cd边刚进入磁场时线框导线中的电流为I₁，依据题意、根据牛顿第二定律有：
mg-BI₁l₁=

3mg

5

解得：I₁=

2mg

5Bl1

（2）设线框ab边刚进入磁场时线框的速度大小为v₁，线框的cd边刚离开磁场时速度大小为v₂，线框的cd边刚离磁场时线框导线中的电流为I₂，依据题意、牛顿第二定律有：
BI₂l₁-mg=

mg

5

解得：I₂=

6mg

5Bl1

又I₂=

Bl1v2

R

，得：v₂=

6Rmg

5B2 l 2 1

当ab进入磁场后，线框中没有感应电流，做加速度为g的匀加速运动，则有：

v

2 2

-

v

2 1

=2g(H-l2)
得：v₁=

v 2 2 -2g(H-l2)

代入解得：v₁=

1

5B2 l 2 1

36R2m2g2-50B4 l 4 1 g(H-l2)

（3）设线框abcd穿出磁场的过程中所用时间为△t，平均电动势为E，通过导线的平均电流为I?，通过导线某一横截面的电荷量为q，则：
E=

△?

△t

=

Bl1l2

△t

，I?=

E

R

=

Bl1l2

R△t

，
则：q=I?△t=

Bl1l2

R

答：
（1）线框的cd边刚进入磁场时，通过线框导线中的电流是

2mg

5Bl1

．
（2）线框的ab边刚进入磁场时线框的速度大小是

1

5B2 l 2 1

36R2m2g2-50B4 l 4 1 g(H-l2)

．
（3）线框abcd从全部在磁场中开始到全部穿出磁场的过程中，通过线框导线横截面的电荷量是

Bl1l2

R

．

点评：本题是电磁感应与力学知识的综合应用，已知加速度，根据牛顿第二定律和安培力公式结合研究电流．线框完全在磁场中运动的过程中，是匀加速运动，由匀变速运动的规律研究初速度和末速度的关系．