如图所示.质量为m的足够长的“[ 金属导轨abcd放在倾角为θ的光滑绝缘斜面上.bc段电阻为R.其余段电阻不计．另一电阻为R.质量为m的导体棒PQ放置在导轨上.始终与导轨接触良好.PbcQ构成矩形．棒与导轨间动摩擦因数为μ.棒左侧有两个固定于斜面的光滑立柱．导轨bc段长为L.以ef为界.其左侧匀强磁场垂直斜面向上.右侧匀强磁场方向沿斜面向上.磁感应强度� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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3．如图所示，质量为m的足够长的“[”金属导轨abcd放在倾角为θ的光滑绝缘斜面上，bc段电阻为R，其余段电阻不计．另一电阻为R、质量为m的导体棒PQ放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PbcQ构成矩形．棒与导轨间动摩擦因数为μ，棒左侧有两个固定于斜面的光滑立柱．导轨bc段长为L，以ef为界，其左侧匀强磁场垂直斜面向上，右侧匀强磁场方向沿斜面向上，磁感应强度大小均为B．在t=0时，一沿斜面方向的作用力F垂直作用在导轨的bc边上，使导轨由静止开始沿斜面向下做匀加速直线运动，加速度为a．

（1）请通过计算证明开始一段时间内PQ中的电流随时间均匀增大．
（2）求在电流随时间均匀增大的时间内棒PQ横截面内通过的电量q和导轨机械能的变化量△E．
（3）请在F-t图上定性地画出电流随时间均匀增大的过程中作用力F随时间t变化的可能关系图，并写出相应的条件．（以沿斜面向下为正方向）

分析（1）根据E=BLv、v=at和欧姆定律，得到感应电流的表达式，即可分析．
（2）根据电量公式q=It，由于电流均匀增大，I要用电流的平均值求．根据能量守恒定律求导轨机械能的变化量△E．
（3）分三种情况：a≥gsinθ-μgcosθ、a≤gsinθ-μgcosθ、gsinθ-gcosθ＜a＜gsinθ-μgcosθ进行讨论分析．

解答解：（1）PQ中的电流为：I=$\frac{BLv}{2R}$=$\frac{BLat}{2R}$
因为$\frac{BLa}{2R}$是常数，所以I∝t，即电流随时间均匀增大．
当PQ受到的安培力大于mgcosθ时，PQ会离开斜面，电路不再闭合，回路中会短时无电流．
F_A=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{m}}{2R}$=mgcosθ
即：t_m=$\frac{2mgRcosθ}{{B}^{2}{L}^{2}a}$
（2）棒PQ横截面内通过的电量为：q=It_m=$\frac{1}{2}$•$\frac{BLa{t}_{m}}{2R}$t_m=$\frac{BLa{t}_{m}^{2}}{4R}$=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}Rco{s}^{2}θ}{{B}^{3}{L}^{3}a}$
导轨机械能的变化量为：E=$\frac{1}{2}$mv²-mgh=$\frac{1}{2}$mat_m²（a-gsinθ）=$\frac{2{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}co{s}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}a}$（a-gsinθ）
（3）①若a≥gsinθ-μgcosθ，则F始终向下，且随时间均匀增大；
②若 a≤gsinθ-μgcosθ，则F始终向上，且随时间均匀减小（t_m时F仍向上或为零）；
③若gsinθ-μgcosθ＜a＜gsinθ+μgcosθ，则F先向上逐渐减小，后向下逐渐增大．F随时间t变化的可能关系图如图所示．
答：
（1）证明见上．
（2）棒PQ横截面内通过的电量q为$\frac{{m}^{2}{g}^{2}Rco{s}^{2}θ}{{B}^{3}{L}^{3}a}$，导轨机械能的变化量△E为$\frac{2{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}co{s}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}a}$（a-gsinθ）．
（3）①若a≥gsinθ-μgcosθ，则F始终向下，且随时间均匀增大；
②若 a≤gsinθ-μgcosθ，则F始终向上，且随时间均匀减小（t_m时F仍向上或为零）；
③若a先小于gsinθ-μgcosθ，后大于gsinθ-μgcosθ，则F先向上逐渐减小，后向下逐渐增大．F随时间t变化的可能关系图如图所示．

点评解决本题的关键要正确分析导轨的运动情况，来确定其受力情况，运用牛顿第二定律、能量守恒定律等力学规律研究．

练习册系列答案

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A．

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