Question

10．如图，一半径为R的圆表示一柱形区域的横截面（纸面）．在柱形区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的粒子沿图中直线在圆上的a点射入柱形区域，在圆上的b点离开该区域，离开时速度方向与直线垂直．圆心O到直线的距离为．现将磁场换为平等于纸面且垂直于直线的匀强电场，同一粒子以同样速度沿直线在a点射入柱形区域，也在b点离开该区域．若磁感应强度大小为B，不计重力，求电场强度的大小．

Answer 1

分析 通过带电粒子在磁场中做圆周运动，根据几何关系求出轨道半径的大小．带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，结合在沿电场方向上做匀加速直线运动和垂直于电场方向做匀速直线运动，求出电场强度与磁感应强度的大小关系．

解答 解：粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…①
过b点和O点作直线的垂线，分别与直线交于c和d点．由几何关系知，
线段：ca、bc和过a、b两点的轨迹圆弧的两条半径（未画出）围成一正方形．
因此：ac=bc=r…②
设cd=x，由几何关系得：ac=$\frac{4}{5}$R+x…③bc=$\frac{3}{5}$R+$\sqrt{{R}^{2}-{x}^{2}}$…④
联立②③④式得 r=$\frac{7}{5}$R   ⑤
再考虑粒子在电场中的运动．设电场强度的大小为E，粒子在电场中做类平抛运动．
设其加速度大小为a，由牛顿第二定律得：qE=ma…⑥
粒子在电场方向和直线方向所走的距离均为r，
由运动学公式得r=$\frac{1}{2}$at²…⑦r=vt…⑧
式中t是粒子在电场中运动的时间．联立①⑤⑥⑦⑧式得E=$\frac{14qR{B}^{2}}{5m}$；
答：电场强度的大小为$\frac{14qR{B}^{2}}{5m}$．

点评 解决本题的关键掌握带电粒子在磁场中磁偏转和在电场中电偏转的区别，知道磁偏转做匀速圆周运动，电偏转做类平抛运动．