Question

已知地球的自转周期和半径分别为T和R，地球同步卫星A的圆轨道半径为h。卫星B沿半径为r(r<h)的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相同。求

(1)卫星B做圆周运动的周期；

(2)卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔(信号传输时间可忽略)。

Answer 1

 (1)()^3/2T

(2)(arcsin＋arcsin)T

[解析]　本题考查万有引力在实际问题中的应用。解题思路如下(1)利用万有引力等于向心力列方程求周期，(2)利用α＝ωt和几何关系求出时间间隔。

(1)设卫星B绕地心转动的周期T′，根据万有引力定律和圆周运动的规律有

G＝m()²h                                                     ①

G＝m′()²r                                               ②

式中，G为引力常量，M为地球质量，m，m′分别为卫星A、B的质量。由①②式得

T′＝()^3/2T                                                          ③

(2)设卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔为r；

在此时间间隔r内，卫星A和B绕地心转动的角度分别为α和α′，则

α＝2π                                                             ④

α′＝2π                                                       ⑤

若不考虑卫星A的公转，两卫星不能直接通讯时，卫星B的位置应在图中B点和B′点之间，图中内圆表示地球的赤道。

由几何关系得

∠BOB′＝2(arcsin＋arcsin)                                       ⑥

由③式知，当r<h时，卫星B比卫星A转得快，考虑卫星A的公转后应有

α′－α＝∠BOB′                                                     ⑦

由③④⑤⑥⑦式得

t＝(arcsin＋arcsin)T                                                                       ⑧