Question

6．如图所示，ABCD是一个光滑的过山车轨道模型，现对静止在A处的滑块施加一个水平向右的推力F，使它从A点开始做匀加速直线运动，当它水平滑行2.5m时到达B点，此时撤去推力F、滑块滑入半径为0.5m且内壁光滑的竖直固定圆轨道，并恰好通过最高点C，当滑块滑到水平BD部分后，又滑上静止在D处，且与ABD等高的长木板上，已知滑块与长木板的质量分别为0.2kg、0.1kg，滑块与长木板、长木板与水平地面的动摩擦因数分别为0.3、$\frac{2}{15}$，它们之间的最大静摩擦力均等于各自滑动摩擦力，g=10m/s²，求：

（1）水平推力F的大小；
（2）滑块到达D点的速度为多少？
（3）木板至少为多长时，滑块才能不从木板上掉下来？在该情况下，木板在水平地面上最终滑行的总位移为多少？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律，抓住滑块恰好通过C点，求出C点的速度，对A到C的过程运用动能定理，求出F的大小．
（2）对A到D的过程运用动能定理，求出D点的速度大小．
（3）根据牛顿第二定律分别求出滑块滑上木板后滑块和木板的加速度大小，结合速度时间公式求出速度相等经历的时间，根据位移关系求出木板的最小长度，速度相同后，木块和木板一起做匀减速直线运动，结合速度位移公式求出木板继续滑行的位移大小，从而得出木板在水平地面上最终滑行的总位移．

解答 解：（1）由于滑块恰好过C点，则有：${m}_{1}g=m\frac{{{v}_{c}}^{2}}{R}$，
从A到C由动能定理得：Fx-m₁g•2R=$\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{c}}^{2}-0$，
代入数据联立解得：F=1.0N．
（2）从A到D由动能定理得：$Fx=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{D}}^{2}$，
代入数据解得：v_D=5m/s．
（3）滑块滑到木板上时，对滑块：μ₁m₁g=m₁a₁，
解得：${a}_{1}={μ}_{1}g=0.3×10m/{s}^{2}=3m/{s}^{2}$，
对木板有：μ₁m₁g-μ₂（m₁+m₂）g=m₂a₂，
代入数据解得：${a}_{2}=2m/{s}^{2}$，
滑块恰好不从木板上滑下，此时滑到木板的右端时恰好与木板速度相同，有：
v_共=v₀-a₁t，
v_共=a₂t，
代入数据解得：t=1s，
此时滑块的位移为：${x}_{1}={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$，
木板的位移为：${x}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$，
L=x₁-x₂，
代入数据解得：L=2.5m，v_共=2m/s，x₂=1m，
达到共同速度后木板又滑行x′，则有：${{v}_{共}}^{2}=2{μ}_{2}gx′$，
代入数据解得：x′=1.5m，
木板在水平地面上最终滑行的总位移为：x=x₁+x′=1+1.5m=2.5m．
答：（1）水平推力F的大小为1.0N；
（2）滑块到达D点的速度为5m/s；
（3）木板至少为2.5m时，滑块才能不从木板上掉下来，木板在水平地面上最终滑行的总位移为2.5m．

点评 本题考查了动能定理和牛顿第二定律、运动学公式的综合运用，解决本题的关键理清滑块和木板在整个过程中的运动规律，选择合适的规律进行求解．