Question

宇航员在月球表面完成下面的实验：在一固定的竖直光滑圆轨道内部最低点静止一个质量为m的小球（可视为质点），如图所示，当施给小球一瞬间速度v时，刚好能使小球在竖直平面内做完全的圆周运动，已知圆弧轨道半径为r，月球的半径为R，万有引力常量为G．求：
（1）若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为多大？
（2）轨道半径为2R的环月卫星周期为多大？

Answer 1

分析：（1）结合机械能守恒定律和牛顿第二定律求出月球表面的重力加速度大小，根据月球表面的万有引力等于重力和万有引力提供向心力求出最小的发射速度．
（2）根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出轨道半径为2R的环月卫星周期．

解答：解：设月球表面的重力加速度为g，小球在最高点的速度为v₁
小球从最低点到最高点的过程中机械能守恒：

1

2

mv2=

1

2

m

v

2 1

+mg?2r
小球刚好做完整的圆周运动，在最高点有：mg=m

v 2 1

r

由以上两式可得：g=

v2

5r

（1）若在月球表面发射一颗卫星，则重力必须提供向心力，则有：mg=m

v 2 2

R

故最小发射速度v2=

gR

=

v2R 5r

（2）若卫星在半径为2R的轨道上，

GMm

(2R)2

=m?2R?

4π2

T2

其中g=

GM

R2

   由以上几式可得：T=

4π 10Rr

v

答：（1）最小发射速度为

v2R 5r

．
（2）轨道半径为2R的环月卫星周期为

4π 10Rr

v

．

点评：本题为万有引力理论与机械能守恒和牛顿第二定律的综合，掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用．