Question

14．一质量m=2kg的小球从光滑斜面上高h=3.5m处A点由静止滑下，斜面底端紧接着一个半径R=1m的光滑圆环，如图，求：（g=10m/s²）
（1）小球滑至圆环顶点B点时对环的压力；
（2）若斜面圆环粗糙，小球滑下后恰好能过最高点B，求整个过程中摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）小球在运动的过程中只有重力做功，机械能守恒，运用机械能守恒定律求出小球滑至圆环顶点时的速度，再根据牛顿运动定律求出小球对轨道的压力．
（2）小球恰好能过最高点B时由重力提供向心力，由牛顿第二定律求最高点的速度，再由动能定理求摩擦力做功．

解答 解：（1）设小球滑至环顶时的速度为υ₁，所受环的压力为N．
小球运动过程中机械能守恒：mg（h-2R）=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$
在顶点B，由圆周运动的知识有：mg+N=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
联立①②解得：N=mg（$\frac{2h}{R}$-5）
代入数值解得：N=2×10（ $\frac{2×3.5}{1}$-5）N=40N
由牛顿第三定律知小球对环的压力大小为：N′=N=40N
（2）当圆环对小球的压力为零时，仅由重力充当向心力，对应的速度υ₂为越过圆环最高点的最小速度．
则有  mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
根据动能定理得：mg（h-2R）+W=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得摩擦力做的功 W=mg（2.5R-h）=2×10×（2.5×1-3.5）=-20J
答：
（1）小球滑至圆环顶点B点时对环的压力是40N；
（2）若斜面圆环粗糙，小球滑下后恰好能过最高点B，整个过程中摩擦力做的功是-20J．

点评 本题综合考查了牛顿第二定律、机械能守恒定律和动能定理，关键抓住小球运动的临界状态，知道动能定理是求功的常用方法．