科目:高中物理 来源: 题型:阅读理解
第一部分 力&物体的平衡
第一讲 力的处理
一、矢量的运算
1、加法
表达: +
=
。
名词:为“和矢量”。
法则:平行四边形法则。如图1所示。
和矢量大小:c = ,其中α为
和
的夹角。
和矢量方向:在
、
之间,和
夹角β= arcsin
2、减法
表达: =
-
。
名词:为“被减数矢量”,
为“减数矢量”,
为“差矢量”。
法则:三角形法则。如图2所示。将被减数矢量和减数矢量的起始端平移到一点,然后连接两时量末端,指向被减数时量的时量,即是差矢量。
差矢量大小:a = ,其中θ为
和
的夹角。
差矢量的方向可以用正弦定理求得。
一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。
例题:已知质点做匀速率圆周运动,半径为R ,周期为T ,求它在T内和在
T内的平均加速度大小。
解说:如图3所示,A到B点对应T的过程,A到C点对应
T的过程。这三点的速度矢量分别设为
、
和
。
根据加速度的定义 =
得:
=
,
=
由于有两处涉及矢量减法,设两个差矢量 =
-
,
=
-
,根据三角形法则,它们在图3中的大小、方向已绘出(
的“三角形”已被拉伸成一条直线)。
本题只关心各矢量的大小,显然:
=
=
=
,且:
=
=
,
= 2
=
所以:=
=
=
,
=
=
=
。
(学生活动)观察与思考:这两个加速度是否相等,匀速率圆周运动是不是匀变速运动?
答:否;不是。
3、乘法
矢量的乘法有两种:叉乘和点乘,和代数的乘法有着质的不同。
⑴ 叉乘
表达:×
=
名词:称“矢量的叉积”,它是一个新的矢量。
叉积的大小:c = absinα,其中α为和
的夹角。意义:
的大小对应由
和
作成的平行四边形的面积。
叉积的方向:垂直和
确定的平面,并由右手螺旋定则确定方向,如图4所示。
显然,×
≠
×
,但有:
×
= -
×
⑵ 点乘
表达:·
= c
名词:c称“矢量的点积”,它不再是一个矢量,而是一个标量。
点积的大小:c = abcosα,其中α为和
的夹角。
二、共点力的合成
1、平行四边形法则与矢量表达式
2、一般平行四边形的合力与分力的求法
余弦定理(或分割成RtΔ)解合力的大小
正弦定理解方向
三、力的分解
1、按效果分解
2、按需要——正交分解
第二讲 物体的平衡
一、共点力平衡
1、特征:质心无加速度。
2、条件:Σ = 0 ,或
= 0 ,
= 0
例题:如图5所示,长为L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂,绳子与水平方向的夹角在图上已标示,求横杆的重心位置。
解说:直接用三力共点的知识解题,几何关系比较简单。
答案:距棒的左端L/4处。
(学生活动)思考:放在斜面上的均质长方体,按实际情况分析受力,斜面的支持力会通过长方体的重心吗?
解:将各处的支持力归纳成一个N ,则长方体受三个力(G 、f 、N)必共点,由此推知,N不可能通过长方体的重心。正确受力情形如图6所示(通常的受力图是将受力物体看成一个点,这时,N就过重心了)。
答:不会。
二、转动平衡
1、特征:物体无转动加速度。
2、条件:Σ= 0 ,或ΣM+ =ΣM-
如果物体静止,肯定会同时满足两种平衡,因此用两种思路均可解题。
3、非共点力的合成
大小和方向:遵从一条直线矢量合成法则。
作用点:先假定一个等效作用点,然后让所有的平行力对这个作用点的和力矩为零。
第三讲 习题课
1、如图7所示,在固定的、倾角为α斜面上,有一块可以转动的夹板(β不定),夹板和斜面夹着一个质量为m的光滑均质球体,试求:β取何值时,夹板对球的弹力最小。
解说:法一,平行四边形动态处理。
对球体进行受力分析,然后对平行四边形中的矢量G和N1进行平移,使它们构成一个三角形,如图8的左图和中图所示。
由于G的大小和方向均不变,而N1的方向不可变,当β增大导致N2的方向改变时,N2的变化和N1的方向变化如图8的右图所示。
显然,随着β增大,N1单调减小,而N2的大小先减小后增大,当N2垂直N1时,N2取极小值,且N2min = Gsinα。
法二,函数法。
看图8的中间图,对这个三角形用正弦定理,有:
=
,即:N2 =
,β在0到180°之间取值,N2的极值讨论是很容易的。
答案:当β= 90°时,甲板的弹力最小。
2、把一个重为G的物体用一个水平推力F压在竖直的足够高的墙壁上,F随时间t的变化规律如图9所示,则在t = 0开始物体所受的摩擦力f的变化图线是图10中的哪一个?
解说:静力学旨在解决静态问题和准静态过程的问题,但本题是一个例外。物体在竖直方向的运动先加速后减速,平衡方程不再适用。如何避开牛顿第二定律,是本题授课时的难点。
静力学的知识,本题在于区分两种摩擦的不同判据。
水平方向合力为零,得:支持力N持续增大。
物体在运动时,滑动摩擦力f = μN ,必持续增大。但物体在静止后静摩擦力f′≡ G ,与N没有关系。
对运动过程加以分析,物体必有加速和减速两个过程。据物理常识,加速时,f < G ,而在减速时f > G 。
答案:B 。
3、如图11所示,一个重量为G的小球套在竖直放置的、半径为R的光滑大环上,另一轻质弹簧的劲度系数为k ,自由长度为L(L<2R),一端固定在大圆环的顶点A ,另一端与小球相连。环静止平衡时位于大环上的B点。试求弹簧与竖直方向的夹角θ。
解说:平行四边形的三个矢量总是可以平移到一个三角形中去讨论,解三角形的典型思路有三种:①分割成直角三角形(或本来就是直角三角形);②利用正、余弦定理;③利用力学矢量三角形和某空间位置三角形相似。本题旨在贯彻第三种思路。
分析小球受力→矢量平移,如图12所示,其中F表示弹簧弹力,N表示大环的支持力。
(学生活动)思考:支持力N可不可以沿图12中的反方向?(正交分解看水平方向平衡——不可以。)
容易判断,图中的灰色矢量三角形和空间位置三角形ΔAOB是相似的,所以:
⑴
由胡克定律:F = k(- R) ⑵
几何关系:= 2Rcosθ ⑶
解以上三式即可。
答案:arccos 。
(学生活动)思考:若将弹簧换成劲度系数k′较大的弹簧,其它条件不变,则弹簧弹力怎么变?环的支持力怎么变?
答:变小;不变。
(学生活动)反馈练习:光滑半球固定在水平面上,球心O的正上方有一定滑轮,一根轻绳跨过滑轮将一小球从图13所示的A位置开始缓慢拉至B位置。试判断:在此过程中,绳子的拉力T和球面支持力N怎样变化?
解:和上题完全相同。
答:T变小,N不变。
4、如图14所示,一个半径为R的非均质圆球,其重心不在球心O点,先将它置于水平地面上,平衡时球面上的A点和地面接触;再将它置于倾角为30°的粗糙斜面上,平衡时球面上的B点与斜面接触,已知A到B的圆心角也为30°。试求球体的重心C到球心O的距离。
解说:练习三力共点的应用。
根据在平面上的平衡,可知重心C在OA连线上。根据在斜面上的平衡,支持力、重力和静摩擦力共点,可以画出重心的具体位置。几何计算比较简单。
答案:R 。
(学生活动)反馈练习:静摩擦足够,将长为a 、厚为b的砖块码在倾角为θ的斜面上,最多能码多少块?
解:三力共点知识应用。
答: 。
4、两根等长的细线,一端拴在同一悬点O上,另一端各系一个小球,两球的质量分别为m1和m2 ,已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度,分别为45和30°,如图15所示。则m1 : m2??为多少?
解说:本题考查正弦定理、或力矩平衡解静力学问题。
对两球进行受力分析,并进行矢量平移,如图16所示。
首先注意,图16中的灰色三角形是等腰三角形,两底角相等,设为α。
而且,两球相互作用的斥力方向相反,大小相等,可用同一字母表示,设为F 。
对左边的矢量三角形用正弦定理,有:
=
①
同理,对右边的矢量三角形,有: =
②
解①②两式即可。
答案:1 : 。
(学生活动)思考:解本题是否还有其它的方法?
答:有——将模型看成用轻杆连成的两小球,而将O点看成转轴,两球的重力对O的力矩必然是平衡的。这种方法更直接、简便。
应用:若原题中绳长不等,而是l1 :l2 = 3 :2 ,其它条件不变,m1与m2的比值又将是多少?
解:此时用共点力平衡更加复杂(多一个正弦定理方程),而用力矩平衡则几乎和“思考”完全相同。
答:2 :3 。
5、如图17所示,一个半径为R的均质金属球上固定着一根长为L的轻质细杆,细杆的左端用铰链与墙壁相连,球下边垫上一块木板后,细杆恰好水平,而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木板之间有摩擦(已知摩擦因素为μ),所以要将木板从球下面向右抽出时,至少需要大小为F的水平拉力。试问:现要将木板继续向左插进一些,至少需要多大的水平推力?
解说:这是一个典型的力矩平衡的例题。
以球和杆为对象,研究其对转轴O的转动平衡,设木板拉出时给球体的摩擦力为f ,支持力为N ,重力为G ,力矩平衡方程为:
f R + N(R + L)= G(R + L) ①
球和板已相对滑动,故:f = μN ②
解①②可得:f =
再看木板的平衡,F = f 。
同理,木板插进去时,球体和木板之间的摩擦f′= = F′。
答案: 。
第四讲 摩擦角及其它
一、摩擦角
1、全反力:接触面给物体的摩擦力与支持力的合力称全反力,一般用R表示,亦称接触反力。
2、摩擦角:全反力与支持力的最大夹角称摩擦角,一般用φm表示。
此时,要么物体已经滑动,必有:φm = arctgμ(μ为动摩擦因素),称动摩擦力角;要么物体达到最大运动趋势,必有:φms = arctgμs(μs为静摩擦因素),称静摩擦角。通常处理为φm = φms 。
3、引入全反力和摩擦角的意义:使分析处理物体受力时更方便、更简捷。
二、隔离法与整体法
1、隔离法:当物体对象有两个或两个以上时,有必要各个击破,逐个讲每个个体隔离开来分析处理,称隔离法。
在处理各隔离方程之间的联系时,应注意相互作用力的大小和方向关系。
2、整体法:当各个体均处于平衡状态时,我们可以不顾个体的差异而讲多个对象看成一个整体进行分析处理,称整体法。
应用整体法时应注意“系统”、“内力”和“外力”的涵义。
三、应用
1、物体放在水平面上,用与水平方向成30°的力拉物体时,物体匀速前进。若此力大小不变,改为沿水平方向拉物体,物体仍能匀速前进,求物体与水平面之间的动摩擦因素μ。
解说:这是一个能显示摩擦角解题优越性的题目。可以通过不同解法的比较让学生留下深刻印象。
法一,正交分解。(学生分析受力→列方程→得结果。)
法二,用摩擦角解题。
引进全反力R ,对物体两个平衡状态进行受力分析,再进行矢量平移,得到图18中的左图和中间图(注意:重力G是不变的,而全反力R的方向不变、F的大小不变),φm指摩擦角。
再将两图重叠成图18的右图。由于灰色的三角形是一个顶角为30°的等腰三角形,其顶角的角平分线必垂直底边……故有:φm = 15°。
最后,μ= tgφm 。
答案:0.268 。
(学生活动)思考:如果F的大小是可以选择的,那么能维持物体匀速前进的最小F值是多少?
解:见图18,右图中虚线的长度即Fmin ,所以,Fmin = Gsinφm 。
答:Gsin15°(其中G为物体的重量)。
2、如图19所示,质量m = 5kg的物体置于一粗糙斜面上,并用一平行斜面的、大小F = 30N的推力推物体,使物体能够沿斜面向上匀速运动,而斜面体始终静止。已知斜面的质量M = 10kg ,倾角为30°,重力加速度g = 10m/s2 ,求地面对斜面体的摩擦力大小。
解说:
本题旨在显示整体法的解题的优越性。
法一,隔离法。简要介绍……
法二,整体法。注意,滑块和斜面随有相对运动,但从平衡的角度看,它们是完全等价的,可以看成一个整体。
做整体的受力分析时,内力不加考虑。受力分析比较简单,列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。
答案:26.0N 。
(学生活动)地面给斜面体的支持力是多少?
解:略。
答:135N 。
应用:如图20所示,一上表面粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上,斜面的倾角为θ。另一质量为m的滑块恰好能沿斜面匀速下滑。若用一推力F作用在滑块上,使之能沿斜面匀速上滑,且要求斜面体静止不动,就必须施加一个大小为P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面体。使满足题意的这个F的大小和方向。
解说:这是一道难度较大的静力学题,可以动用一切可能的工具解题。
法一:隔离法。
由第一个物理情景易得,斜面于滑块的摩擦因素μ= tgθ
对第二个物理情景,分别隔离滑块和斜面体分析受力,并将F沿斜面、垂直斜面分解成Fx和Fy ,滑块与斜面之间的两对相互作用力只用两个字母表示(N表示正压力和弹力,f表示摩擦力),如图21所示。
对滑块,我们可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡——
Fx = f + mgsinθ
Fy + mgcosθ= N
且 f = μN = Ntgθ
综合以上三式得到:
Fx = Fytgθ+ 2mgsinθ ①
对斜面体,只看水平方向平衡就行了——
P = fcosθ+ Nsinθ
即:4mgsinθcosθ=μNcosθ+ Nsinθ
代入μ值,化简得:Fy = mgcosθ ②
②代入①可得:Fx = 3mgsinθ
最后由F =解F的大小,由tgα=
解F的方向(设α为F和斜面的夹角)。
答案:大小为F = mg,方向和斜面夹角α= arctg(
)指向斜面内部。
法二:引入摩擦角和整体法观念。
仍然沿用“法一”中关于F的方向设置(见图21中的α角)。
先看整体的水平方向平衡,有:Fcos(θ- α) = P ⑴
再隔离滑块,分析受力时引进全反力R和摩擦角φ,由于简化后只有三个力(R、mg和F),可以将矢量平移后构成一个三角形,如图22所示。
在图22右边的矢量三角形中,有: =
=
⑵
注意:φ= arctgμ= arctg(tgθ) = θ ⑶
解⑴⑵⑶式可得F和α的值。
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第二部分 牛顿运动定律
第一讲 牛顿三定律
一、牛顿第一定律
1、定律。惯性的量度
2、观念意义,突破“初态困惑”
二、牛顿第二定律
1、定律
2、理解要点
a、矢量性
b、独立作用性:ΣF → a ,ΣFx → ax …
c、瞬时性。合力可突变,故加速度可突变(与之对比:速度和位移不可突变);牛顿第二定律展示了加速度的决定式(加速度的定义式仅仅展示了加速度的“测量手段”)。
3、适用条件
a、宏观、低速
b、惯性系
对于非惯性系的定律修正——引入惯性力、参与受力分析
三、牛顿第三定律
1、定律
2、理解要点
a、同性质(但不同物体)
b、等时效(同增同减)
c、无条件(与运动状态、空间选择无关)
第二讲 牛顿定律的应用
一、牛顿第一、第二定律的应用
单独应用牛顿第一定律的物理问题比较少,一般是需要用其解决物理问题中的某一个环节。
应用要点:合力为零时,物体靠惯性维持原有运动状态;只有物体有加速度时才需要合力。有质量的物体才有惯性。a可以突变而v、s不可突变。
1、如图1所示,在马达的驱动下,皮带运输机上方的皮带以恒定的速度向右运动。现将一工件(大小不计)在皮带左端A点轻轻放下,则在此后的过程中( )
A、一段时间内,工件将在滑动摩擦力作用下,对地做加速运动
B、当工件的速度等于v时,它与皮带之间的摩擦力变为静摩擦力
C、当工件相对皮带静止时,它位于皮带上A点右侧的某一点
D、工件在皮带上有可能不存在与皮带相对静止的状态
解说:B选项需要用到牛顿第一定律,A、C、D选项用到牛顿第二定律。
较难突破的是A选项,在为什么不会“立即跟上皮带”的问题上,建议使用反证法(t → 0 ,a → ∞ ,则ΣFx → ∞ ,必然会出现“供不应求”的局面)和比较法(为什么人跳上速度不大的物体可以不发生相对滑动?因为人是可以形变、重心可以调节的特殊“物体”)
此外,本题的D选项还要用到匀变速运动规律。用匀变速运动规律和牛顿第二定律不难得出
只有当L > 时(其中μ为工件与皮带之间的动摩擦因素),才有相对静止的过程,否则没有。
答案:A、D
思考:令L = 10m ,v = 2 m/s ,μ= 0.2 ,g取10 m/s2 ,试求工件到达皮带右端的时间t(过程略,答案为5.5s)
进阶练习:在上面“思考”题中,将工件给予一水平向右的初速v0 ,其它条件不变,再求t(学生分以下三组进行)——
① v0 = 1m/s (答:0.5 + 37/8 = 5.13s)
② v0 = 4m/s (答:1.0 + 3.5 = 4.5s)
③ v0 = 1m/s (答:1.55s)
2、质量均为m的两只钩码A和B,用轻弹簧和轻绳连接,然后挂在天花板上,如图2所示。试问:
① 如果在P处剪断细绳,在剪断瞬时,B的加速度是多少?
② 如果在Q处剪断弹簧,在剪断瞬时,B的加速度又是多少?
解说:第①问是常规处理。由于“弹簧不会立即发生形变”,故剪断瞬间弹簧弹力维持原值,所以此时B钩码的加速度为零(A的加速度则为2g)。
第②问需要我们反省这样一个问题:“弹簧不会立即发生形变”的原因是什么?是A、B两物的惯性,且速度v和位移s不能突变。但在Q点剪断弹簧时,弹簧却是没有惯性的(没有质量),遵从理想模型的条件,弹簧应在一瞬间恢复原长!即弹簧弹力突变为零。
答案:0 ;g 。
二、牛顿第二定律的应用
应用要点:受力较少时,直接应用牛顿第二定律的“矢量性”解题。受力比较多时,结合正交分解与“独立作用性”解题。
在难度方面,“瞬时性”问题相对较大。
1、滑块在固定、光滑、倾角为θ的斜面上下滑,试求其加速度。
解说:受力分析 → 根据“矢量性”定合力方向 → 牛顿第二定律应用
答案:gsinθ。
思考:如果斜面解除固定,上表仍光滑,倾角仍为θ,要求滑块与斜面相对静止,斜面应具备一个多大的水平加速度?(解题思路完全相同,研究对象仍为滑块。但在第二环节上应注意区别。答:gtgθ。)
进阶练习1:在一向右运动的车厢中,用细绳悬挂的小球呈现如图3所示的稳定状态,试求车厢的加速度。(和“思考”题同理,答:gtgθ。)
进阶练习2、如图4所示,小车在倾角为α的斜面上匀加速运动,车厢顶用细绳悬挂一小球,发现悬绳与竖直方向形成一个稳定的夹角β。试求小车的加速度。
解:继续贯彻“矢量性”的应用,但数学处理复杂了一些(正弦定理解三角形)。
分析小球受力后,根据“矢量性”我们可以做如图5所示的平行四边形,并找到相应的夹角。设张力T与斜面方向的夹角为θ,则
θ=(90°+ α)- β= 90°-(β-α) (1)
对灰色三角形用正弦定理,有
=
(2)
解(1)(2)两式得:ΣF =
最后运用牛顿第二定律即可求小球加速度(即小车加速度)
答: 。
2、如图6所示,光滑斜面倾角为θ,在水平地面上加速运动。斜面上用一条与斜面平行的细绳系一质量为m的小球,当斜面加速度为a时(a<ctgθ),小球能够保持相对斜面静止。试求此时绳子的张力T 。
解说:当力的个数较多,不能直接用平行四边形寻求合力时,宜用正交分解处理受力,在对应牛顿第二定律的“独立作用性”列方程。
正交坐标的选择,视解题方便程度而定。
解法一:先介绍一般的思路。沿加速度a方向建x轴,与a垂直的方向上建y轴,如图7所示(N为斜面支持力)。于是可得两方程
ΣFx = ma ,即Tx - Nx = ma
ΣFy = 0 , 即Ty + Ny = mg
代入方位角θ,以上两式成为
T cosθ-N sinθ = ma (1)
T sinθ + Ncosθ = mg (2)
这是一个关于T和N的方程组,解(1)(2)两式得:T = mgsinθ + ma cosθ
解法二:下面尝试一下能否独立地解张力T 。将正交分解的坐标选择为:x——斜面方向,y——和斜面垂直的方向。这时,在分解受力时,只分解重力G就行了,但值得注意,加速度a不在任何一个坐标轴上,是需要分解的。矢量分解后,如图8所示。
根据独立作用性原理,ΣFx = max
即:T - Gx = max
即:T - mg sinθ = m acosθ
显然,独立解T值是成功的。结果与解法一相同。
答案:mgsinθ + ma cosθ
思考:当a>ctgθ时,张力T的结果会变化吗?(从支持力的结果N = mgcosθ-ma sinθ看小球脱离斜面的条件,求脱离斜面后,θ条件已没有意义。答:T = m 。)
学生活动:用正交分解法解本节第2题“进阶练习2”
进阶练习:如图9所示,自动扶梯与地面的夹角为30°,但扶梯的台阶是水平的。当扶梯以a = 4m/s2的加速度向上运动时,站在扶梯上质量为60kg的人相对扶梯静止。重力加速度g = 10 m/s2,试求扶梯对人的静摩擦力f 。
解:这是一个展示独立作用性原理的经典例题,建议学生选择两种坐标(一种是沿a方向和垂直a方向,另一种是水平和竖直方向),对比解题过程,进而充分领会用牛顿第二定律解题的灵活性。
答:208N 。
3、如图10所示,甲图系着小球的是两根轻绳,乙图系着小球的是一根轻弹簧和轻绳,方位角θ已知。现将它们的水平绳剪断,试求:在剪断瞬间,两种情形下小球的瞬时加速度。
解说:第一步,阐明绳子弹力和弹簧弹力的区别。
(学生活动)思考:用竖直的绳和弹簧悬吊小球,并用竖直向下的力拉住小球静止,然后同时释放,会有什么现象?原因是什么?
结论——绳子的弹力可以突变而弹簧的弹力不能突变(胡克定律)。
第二步,在本例中,突破“绳子的拉力如何瞬时调节”这一难点(从即将开始的运动来反推)。
知识点,牛顿第二定律的瞬时性。
答案:a甲 = gsinθ ;a乙 = gtgθ 。
应用:如图11所示,吊篮P挂在天花板上,与吊篮质量相等的物体Q被固定在吊篮中的轻弹簧托住,当悬挂吊篮的细绳被烧断瞬间,P、Q的加速度分别是多少?
解:略。
答:2g ;0 。
三、牛顿第二、第三定律的应用
要点:在动力学问题中,如果遇到几个研究对象时,就会面临如何处理对象之间的力和对象与外界之间的力问题,这时有必要引进“系统”、“内力”和“外力”等概念,并适时地运用牛顿第三定律。
在方法的选择方面,则有“隔离法”和“整体法”。前者是根本,后者有局限,也有难度,但常常使解题过程简化,使过程的物理意义更加明晰。
对N个对象,有N个隔离方程和一个(可能的)整体方程,这(N + 1)个方程中必有一个是通解方程,如何取舍,视解题方便程度而定。
补充:当多个对象不具有共同的加速度时,一般来讲,整体法不可用,但也有一种特殊的“整体方程”,可以不受这个局限(可以介绍推导过程)——
Σ= m1
+ m2
+ m3
+ … + mn
其中Σ只能是系统外力的矢量和,等式右边也是矢量相加。
1、如图12所示,光滑水平面上放着一个长为L的均质直棒,现给棒一个沿棒方向的、大小为F的水平恒力作用,则棒中各部位的张力T随图中x的关系怎样?
解说:截取隔离对象,列整体方程和隔离方程(隔离右段较好)。
答案:N = x 。
思考:如果水平面粗糙,结论又如何?
解:分两种情况,(1)能拉动;(2)不能拉动。
第(1)情况的计算和原题基本相同,只是多了一个摩擦力的处理,结论的化简也麻烦一些。
第(2)情况可设棒的总质量为M ,和水平面的摩擦因素为μ,而F = μMg ,其中l<L ,则x<(L-l)的右段没有张力,x>(L-l)的左端才有张力。
答:若棒仍能被拉动,结论不变。
若棒不能被拉动,且F = μMg时(μ为棒与平面的摩擦因素,l为小于L的某一值,M为棒的总质量),当x<(L-l),N≡0 ;当x>(L-l),N =
〔x -〈L-l〉〕。
应用:如图13所示,在倾角为θ的固定斜面上,叠放着两个长方体滑块,它们的质量分别为m1和m2 ,它们之间的摩擦因素、和斜面的摩擦因素分别为μ1和μ2 ,系统释放后能够一起加速下滑,则它们之间的摩擦力大小为:
A、μ1 m1gcosθ ; B、μ2 m1gcosθ ;
C、μ1 m2gcosθ ; D、μ1 m2gcosθ ;
解:略。
答:B 。(方向沿斜面向上。)
思考:(1)如果两滑块不是下滑,而是以初速度v0一起上冲,以上结论会变吗?(2)如果斜面光滑,两滑块之间有没有摩擦力?(3)如果将下面的滑块换成如图14所示的盒子,上面的滑块换成小球,它们以初速度v0一起上冲,球应对盒子的哪一侧内壁有压力?
解:略。
答:(1)不会;(2)没有;(3)若斜面光滑,对两内壁均无压力,若斜面粗糙,对斜面上方的内壁有压力。
2、如图15所示,三个物体质量分别为m1 、m2和m3 ,带滑轮的物体放在光滑水平面上,滑轮和所有接触面的摩擦均不计,绳子的质量也不计,为使三个物体无相对滑动,水平推力F应为多少?
解说:
此题对象虽然有三个,但难度不大。隔离m2 ,竖直方向有一个平衡方程;隔离m1 ,水平方向有一个动力学方程;整体有一个动力学方程。就足以解题了。
答案:F = 。
思考:若将质量为m3物体右边挖成凹形,让m2可以自由摆动(而不与m3相碰),如图16所示,其它条件不变。是否可以选择一个恰当的F′,使三者无相对运动?如果没有,说明理由;如果有,求出这个F′的值。
解:此时,m2的隔离方程将较为复杂。设绳子张力为T ,m2的受力情况如图,隔离方程为:
= m2a
隔离m1 ,仍有:T = m1a
解以上两式,可得:a = g
最后用整体法解F即可。
答:当m1 ≤ m2时,没有适应题意的F′;当m1 > m2时,适应题意的F′= 。
3、一根质量为M的木棒,上端用细绳系在天花板上,棒上有一质量为m的猫,如图17所示。现将系木棒的绳子剪断,同时猫相对棒往上爬,但要求猫对地的高度不变,则棒的加速度将是多少?
解说:法一,隔离法。需要设出猫爪抓棒的力f ,然后列猫的平衡方程和棒的动力学方程,解方程组即可。
法二,“新整体法”。
据Σ= m1
+ m2
+ m3
+ … + mn
,猫和棒的系统外力只有两者的重力,竖直向下,而猫的加速度a1 = 0 ,所以:
( M + m )g = m·0 + M a1
解棒的加速度a1十分容易。
答案:g 。
四、特殊的连接体
当系统中各个体的加速度不相等时,经典的整体法不可用。如果各个体的加速度不在一条直线上,“新整体法”也将有一定的困难(矢量求和不易)。此时,我们回到隔离法,且要更加注意找各参量之间的联系。
解题思想:抓某个方向上加速度关系。方法:“微元法”先看位移关系,再推加速度关系。、
1、如图18所示,一质量为M 、倾角为θ的光滑斜面,放置在光滑的水平面上,另一个质量为m的滑块从斜面顶端释放,试求斜面的加速度。
解说:本题涉及两个物体,它们的加速度关系复杂,但在垂直斜面方向上,大小是相等的。对两者列隔离方程时,务必在这个方向上进行突破。
(学生活动)定型判断斜面的运动情况、滑块的运动情况。
位移矢量示意图如图19所示。根据运动学规律,加速度矢量a1和a2也具有这样的关系。
(学生活动)这两个加速度矢量有什么关系?
沿斜面方向、垂直斜面方向建x 、y坐标,可得:
a1y = a2y ①
且:a1y = a2sinθ ②
隔离滑块和斜面,受力图如图20所示。
对滑块,列y方向隔离方程,有:
mgcosθ- N = ma1y ③
对斜面,仍沿合加速度a2方向列方程,有:
Nsinθ= Ma2 ④
解①②③④式即可得a2 。
答案:a2 = 。
(学生活动)思考:如何求a1的值?
解:a1y已可以通过解上面的方程组求出;a1x只要看滑块的受力图,列x方向的隔离方程即可,显然有mgsinθ= ma1x ,得:a1x = gsinθ 。最后据a1 = 求a1 。
答:a1 = 。
2、如图21所示,与水平面成θ角的AB棒上有一滑套C ,可以无摩擦地在棒上滑动,开始时与棒的A端相距b ,相对棒静止。当棒保持倾角θ不变地沿水平面匀加速运动,加速度为a(且a>gtgθ)时,求滑套C从棒的A端滑出所经历的时间。
解说:这是一个比较特殊的“连接体问题”,寻求运动学参量的关系似乎比动力学分析更加重要。动力学方面,只需要隔离滑套C就行了。
(学生活动)思考:为什么题意要求a>gtgθ?(联系本讲第二节第1题之“思考题”)
定性绘出符合题意的运动过程图,如图22所示:S表示棒的位移,S1表示滑套的位移。沿棒与垂直棒建直角坐标后,S1x表示S1在x方向上的分量。不难看出:
S1x + b = S cosθ ①
设全程时间为t ,则有:
S = at2 ②
S1x = a1xt2 ③
而隔离滑套,受力图如图23所示,显然:
mgsinθ= ma1x ④
解①②③④式即可。
答案:t =
另解:如果引进动力学在非惯性系中的修正式 Σ+
* = m
(注:
*为惯性力),此题极简单。过程如下——
以棒为参照,隔离滑套,分析受力,如图24所示。
注意,滑套相对棒的加速度a相是沿棒向上的,故动力学方程为:
F*cosθ- mgsinθ= ma相 (1)
其中F* = ma (2)
而且,以棒为参照,滑套的相对位移S相就是b ,即:
b = S相 = a相 t2 (3)
解(1)(2)(3)式就可以了。
第二讲 配套例题选讲
教材范本:龚霞玲主编《奥林匹克物理思维训练教材》,知识出版社,2002年8月第一版。
例题选讲针对“教材”第三章的部分例题和习题。
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