Question

9．中国首个月球探测计划“嫦娥工程”预计在2017年送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球基地选址做准备．设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：
A．计时表一只  
B．弹簧秤一把 
C．已知质量为m的物体一个 
D．天平一只（附砝码一盒）． 
在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月球做匀速圆周运动，宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N圈所用的时间为t．飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行了第二次测量，利用上述两次测量所得的物理量可出推导出月球的半径和质量．（已知万有引力常量为G），试求：
（1）机器人进行第二次测量的内容是什么？
（2）试推导用上述测量的物理量表示的月球半径和质量的表达式．

Answer 1

分析 （1）机器人进行第二次测量时利用F=mg测量重力加速度；
（2）飞船做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式；在月球表面，重力等于万有引力，再次根据万有引力定律列式；最后联立求解即可．

解答 解：（1）机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小；
（2）在月球上忽略月球的自转，可知：
mg_月=F…①
月球表面上有：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{月}$…②
飞船在绕月球运行时，因为是靠近月球表面，故近似认为其轨道半径为月球的半径R；
由万有引力提供物体做圆周运动的向心力可知：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$…③
又 T=$\frac{t}{N}$…④
由①、②、③、④式可知月球的半径：
R=$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$=$\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}m}$
月球的质量：
M=$\frac{{F}^{3}{t}^{4}}{16{π}^{4}G{N}^{4}{m}^{3}}$
答：（1）机器人进行第二次测量的内容是：用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小；
（2）试推导用上述测量的物理量表示的月球半径为$\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}m}$，质量为$\frac{{F}^{3}{t}^{4}}{16{π}^{4}G{N}^{4}{m}^{3}}$．

点评 本题关键是明确飞船的运动情况和受力情况，然后结合牛顿第二定律和万有引力定律列式求解，不难．