Question

13．某星球的半径为R，在该星球表面某一倾角为θ的山坡上以初速度v₀平抛一物体，经过时间t该物体落到山坡上．
（1）求该星球的环绕速度；
（2）若在距离该星球表面高h处有一颗卫星绕着星球做匀速圆周运动，问：卫星运行的周期是多少？（不计一切阻力）

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动规律列出水平方向和竖直方向的位移等式，结合几何关系求出重力加速度．忽略地球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式．
使物体绕着星球表面做匀速圆周运动，由万有引力定律充当向心力可求得环绕速度．
（2）由万有引力提供向心力即可求出在距离该星球表面高h处的周期．

解答 解：（1）由题意可知，是要求该星球上的“近地卫星”的绕行速度，也即为第一宇宙速度．设该星球表面处的重力加速度为g，由平抛运动规律可得：
tanθ=$\frac{y}{x}$，y=$\frac{1}{2}$gt²，x=v₀t，
联立解得：g=$\frac{{2v_0^{\;}}}{t}$tanθ
对于绕该星球做匀速圆周运动的“近地卫星”，应有：mg=m  $\frac{v^2}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{{2{v_0}Rtanθ}}{t}}$
（2）由万有引力提供向心力：$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}（R+h）}}{T^2}$
推得：$T=\sqrt{\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{GM}}$
又  $\frac{GMm}{R^2}=mg$
有GM=gR²
所以有：$T=\sqrt{\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{{g{R^2}}}}=\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{t（R+h）}{{2{v_0}tanθ}}}$
答：（1）该星球的环绕速度是$\sqrt{\frac{{2{v_0}Rtanθ}}{t}}$；
（2）若在距离该星球表面高h处有一颗卫星绕着星球做匀速圆周运动，卫星运行的周期是$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{t（R+h）}{2{v}_{0}tanθ}}$．

点评 处理平抛运动的思路就是分解．重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．