Question

12．如图所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块，木块的边长为h，其密度为水的密度ρ的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高为2h，现用力缓慢地把木板压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功．

Answer 1

分析 由圆柱形木块的底面积是圆柱形容器底面积的一半，从静止状态到木块刚好没入水面，此阶段，浮力增量是变化的，由于呈线性变化，故可取其中间值作为平均值，计算做功；第二阶段，从刚好没入水面到到达容器底部，压力不变，根据功的定义求出压力做功，二者之和即为结果．

解答 解：初始状态如图所示：

受压力F作用，刚开始浸入的过程中，压力等于浮力增量，且逐渐增大；
由于；圆柱形木块的底面积是圆柱形容器底面积的一半，则下压x深度，水面就上升x高度，
压力即浮力增量：F=△F_浮=ρ×2x×h²g=2ρgxh²
当x=$\frac{h}{4}$时，木块刚好全部浸入水中，如图所示

此时压力：F=$\frac{ρg{h}^{3}}{2}$      ①
这一阶段由于压力即浮力增量是随x线性增加的，故可以对这一阶段的压力取平均值：$\overline{F}=\frac{F}{2}=\frac{ρg{h}^{3}}{4}$
此阶段压力做功：${W}_{1}=\overline{F}•\frac{h}{4}$     ②
之后为第二阶段运动，压力不变，始终为：F=$\frac{ρg{h}^{3}}{2}$，直至把木块压至容器底部，压力作用距离：$s=2h-\frac{h}{2}-\frac{h}{4}═\frac{5}{4}h$   ③
第二阶段压力做功：W₂=Fs   ④
压力在该过程中所作的功：W=W₁+W₂     ⑤
联立①②③④⑤式得：W=$\frac{11ρg{h}^{4}}{16}$
答：压力在该过程中所作的功为$\frac{11ρg{h}^{4}}{16}$．

点评 本题主要考查了恒力和变力做功的求法，特别要注意本题中浮力也做功，不能忽略，难度适中．