Question

2．如图所示，xy平面的第一象限内有沿负y方向的匀强电场，在第四象限内有垂直于纸面向外的匀强磁场，现有一质量为m，电量+q的粒子，以初速度v₀沿负x方向坐标为（3l，l）的P点开始运动，接着进入磁场后从原点射出，射出的速度方向与y轴正方向夹角为45°，不计粒子重力，求：
（1）粒子从0点射出时速度；
（2）电场强度大小；
（3）磁感应强度大小；
（4）从P点运动到0点所用时间t_总．

Answer 1

分析 （1）由速度的合成法求出带电粒子刚进入磁场时的速度大小，即为粒子从O点射出磁场时的速度大小；带电粒子射入电场中作类平抛运动，带电粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力作匀速圆周运动，根据几何知识得到带电粒子进入磁场时速度方向与x轴夹角45°；
（2）粒子在电场中做类平抛运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求出E的大小；
（3）由牛顿第二定律可以求出磁感应强度；
（4）电场中，由运动学公式和牛顿第二定律结合求时间．磁场中，根据轨迹的圆心角求出时间

解答 解：粒子运动轨迹如图所示：

（1）由对称性可知，粒子在Q点时速度大小为v，方向与-x轴方向成45°，
则：vcos45°=v₀，
解得：v=$\sqrt{2}$v₀，
（2）在P到Q的过程中，由动能定理得：qEl=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
联立以上两式解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2ql}$．
（3）由几何知识可知，r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$l，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：B=$\frac{2m{v}_{0}}{ql}$；
（4）粒子在电场中运动，到达Q点时沿-y方向速度大小为v_y=v₀，
P到Q的运动时间为：t₁=$\frac{2l}{{v}_{0}}$，
水平分运动，有x=v₀t，竖直分运动，有l=$\frac{{v}_{0}}{2}$t，则x=2l．
带电粒子在磁场中运动，其轨道半径：R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$，
由几何关系可得：l=$\sqrt{2}$R，则：$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$l，即：$\frac{m}{qB}$=$\frac{l}{2{v}_{0}}$，
运动时间：t₂=$\frac{1}{4}$T=$\frac{1}{4}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πl}{4{v}_{0}}$，
粒子到从P点运动到O点过程所用的时间：t_总=t₁+t₂=（8+π）$\frac{l}{4{v}_{0}}$；
（1）粒子从0点射出时速度为$\sqrt{2}$v₀；
（2）电场强度大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2ql}$；
（3）磁感应强度大小为$\frac{2m{v}_{0}}{ql}$；
（4）从P点运动到0点所用时间t_总为（8+π）$\frac{l}{4{v}_{0}}$．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，掌握平抛运动的处理方法并能运用到类平抛运动中，粒子在磁场中做匀速圆周运动，能正确的画出运动轨迹，并根据几何关系确定各量之间的关系