Question

两相互平行且足够长的水平金属导轨MN、PQ放在竖直平面内，相距0.4m，左端接有平行板电容器，板间距离为0.2m，右端接滑动变阻器R．水平匀强磁场磁感应强度为10T，垂直于导轨所在平面，整个装置均处于上述匀强磁场中，导体棒CD与金属导轨垂直且接触良好，棒的电阻为1Ω，其他电阻及摩擦不计．现在用与金属导轨平行，大小为2N的恒力F使棒从静止开始运动．已知R的最大阻值为2Ω，g=10m/s²．则：
（1）滑动变阻器阻值取不同值时，导体棒处于稳定状态时拉力的功率不一样，求导体棒处于稳定状态时拉力的最大功率．
（2）当滑动触头在滑动变阻器中点且导体棒处于稳定状态时，一个带电小球从平行板电容器左侧，以某一速度沿两板的正中间且平行于两极板射入后，在两极板间恰好做匀速直线运动；当滑动触头位于最下端且导体棒处于稳定状态时，该带电小球以同样的方式和速度射入，小球在两极板间恰好做匀速圆周运动，则小球的速度为多大，做圆周运动的轨道半径多大？

Answer 1

分析：（1）当导体棒稳定时做匀速直线运动，导体棒处于平衡状态，导体棒受到的安培力等于拉力，求出拉力功率的表达式，然后根据表达式求出拉力功率的最大值．
（2）小球匀速通过极板时做匀速直线运动，对小球受力分析，然后由平衡条件列方程；小球在极板间做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，重力与电场力合力为零，
由平衡条件及牛顿第二定律列方程，然后解方程组，求出小球的速度与轨道半径．

解答：解：（1）当棒达到匀速运动时，金属棒受到的安培力：
F_B=BIL=B

E

R+r

L=B

BLv

R+r

L=

B2L2v

R+r

，
由平衡条件得：F=F_B，即：F=

B2L2v

R+r

，
导体棒的速度v=

F(R+r)

B2L2

，
拉力功率P=Fv=

F2(R+r)

B2L2

，
由此可知，回路的总电阻越大时，拉力功率越大，
当R=2Ω时，拉力功率最大，P_m=0.75（W）；
（2）当触头滑到中点即R=1Ω时，
棒匀速运动的速度v₁=

F(R+r)

B2L2

=0.25（m/s），
导体棒产生的感应电动势E₁=BLv₁=10×0.4×0.25=1（V），
电容器两极板间电压U₁=

E1R

R+r

=0.5（V），
由于棒在平行板间做匀速直线运动，则小球必带正电，
此时小球受力情况如图所示，设小球的入射速度为v₀，
由平衡条件知：F+f=G   即 q

U1

d

+qv₀B=mg  ①，
当滑头滑至下端即R=2Ω时，棒的速度V₂═

F(R+r)

B2L2

=

3

8

（m/s），
导体棒产生的感应电动势  E₂=BLV₂=1.5V，
电容器两极板间的电压U₂=

E2R

R+r

=1V，
由于小球在平行板间做匀速圆周运动，
电场力与重力平衡，于是：q

U2

d

=mg  ②，
代入数值，由①②解得：v₀=

U2-U1

Bd

=0.25（m/s），
小球作圆周运动时洛仑兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qv₀B=m

v 2 0

r

，
小球作圆周运动的半径为r=0.0125m；
答：（1）导体棒处于稳定状态时拉力的最大功率是0.75W．
（2）小球在两极板间恰好做匀速圆周运动的速度为0.25m/s，做圆周运动的轨道半径为0.0125m．

点评：本题涉及的知识点较多，是电磁感应与电路、与力学相结合的一道综合题，本题难度较大，是一道难题；正确受力分析、分析清楚过程、熟练掌握并灵活应用基础知识是正确解题的关键．