Question

5．据有关资料介绍，受控热核聚变反应装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的容器可装，而是由磁场约束带电粒子运动将其束缚在某个区域内，现按下面的简化条件来讨论这个问题，如图所示，有一个环形区域，其截面内半径为R₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，外半径为R₂=1.0m，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，已知磁感应强度B=1.0T，被束缚粒子的荷质比为$\frac{q}{m}$=4.0×10⁷C/kg，不计带电粒子在运动过程中的相互作用，不计带电粒子的重力．
（1）若中空区域中的带电粒子沿环的半径方向射入磁场，求带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度v₀．
（2）若中空区域中的带电粒子以（1）中的最大速度v₀从圆心O点沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子从进入磁场开始到第一次回到该点所需要的时间t．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系与牛顿第二定律，即可求解；
（2）根据几何关系，可确定θ的值，并由周期公式与圆心角，可求出在磁场中运动的时间，再由运动学公式，可求出在磁场外运动的时间，最后可确定总时间．

解答 解：（1）根据几何关系，则有：${R_1}^2+{r^2}={（{R_2}-r）^2}$
解得：$r=\frac{1}{3}$
由牛顿第二定律，则有$q{v_0}B=m\frac{{{v_0}^2}}{r}$
解得：${v_0}=1.33×{10^7}m/s$
（2）如图，则有：$tgθ=\frac{R_1}{r}=\sqrt{3}，θ=\frac{π}{3}$，
带电粒子必须三次经过磁场，才会回到该点
在磁场中的圆心角为$\frac{4}{3}π$，则在磁场中运动的时间为
${t_1}=3×\frac{2}{3}T=2T=\frac{4πm}{Bq}=3.14×{10^{-7}}s$
在磁场外运动的时间为${t_2}=3×\frac{{2{R_1}}}{v_0}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}×{10^{-7}}s$
则    $t={t_1}+{t_2}=5.74×{10^{-7}}s$
答：（1）若中空区域中的带电粒子由O点沿环的半径方向射入磁场，求带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度：${v_0}=1.33×{10^7}m/s$．
（2）若中空区域中的带电粒子以（1）中的最大速度v_o沿圆环半径方向射入磁场，则带电粒子从刚进入磁场某点开始到第一次回到该点所需要的时间5.74×10^-7s．

点评 考查带电粒子在磁场中的运动，结合牛顿第二定律与运动学公式，掌握如何画出运动轨迹图，学会求在磁场中运动的时间．