Question

如图所示，在区域Ⅰ(0≤x≤d)和区域Ⅱ(d≤x≤2d)内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面．一质量为m、带电荷量q(q＞0)的粒子a于某时刻从y轴上的P点射入区域Ⅰ，其速度方向沿x轴正向．已知a在离开区域Ⅰ时，速度方向与x轴正向的夹角为30°；此时，另一质量和电荷量均与a相同的粒子b也从P点沿x轴正向射入区域Ⅰ，其速度大小是a的；不计重力和两粒子之间的相互作用力．求：

1.粒子a射入区域Ⅰ时速度的大小；

2.当a离开区域Ⅱ时，a、b两粒子的y坐标之差．网]

 

 

Answer 1

 

1.

2.

解析:

(1)设粒子a在Ⅰ内做匀速圆周运动的圆心为C(在y轴上)，半径为R_a1，粒子速率为v_a，运动轨迹与两磁场区域边界的交点为P′，如图所示．由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得

qv_aB＝m①

由几何关系得

∠PCP′＝θ②

R_a1＝③

式中，θ＝30°.

由①②③式得

v_a＝④

(2)设粒子a在Ⅱ内做圆周运动的圆心为O_a，半径为R_a2，射出点为P_a(图中未画出轨迹)，∠P′O_aP_a＝θ′＝2θ.由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得

qv_a(2B)＝m⑤

由①⑤式得

R_a2＝⑥

C、P′和O_a三点共线，且由⑥式知O_a点必位于x＝d的平面上，由对称性知，P_a点与P′点纵坐标相同，即y_Pa＝R_a1cosθ＋h⑦

式中，h是C点的y坐标．

设b在Ⅰ中运动的轨道半径为R_b1，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得

qB＝²⑧

设a到达P_a点时，b位于P_b点，转过的角度为α.如果b没有飞出Ⅰ，则

＝⑨

＝⑩

式中，t是a在区域Ⅱ中运动的时间，而

T_a2＝

T_b1＝

由⑤⑧⑨⑩式得α＝30°

由①③⑧式可见，b没有飞出Ⅰ.P_b点的y坐标为

y_Pb＝R_b1cosα＋Ra₁－Rb₁＋h

由①③⑦⑧式及题给条件得，a、b两粒子的y坐标之差为y_Pa－y_Pb＝(－2)d