Question

（2008?滨州三模）相距为L=0.20m的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面．质量均为m=1.0kg的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ，导轨电阻不计，回路总电阻为R=1.0Ω．整个装置处于磁感应强度大小为B=0.50T，方向竖直向上的匀强磁场中．当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下从静止开始沿导轨匀加速运动时，cd杆也同时从静止开始沿导轨向下运动．测得拉力F与时间t的关系如图所示．g=10m/s²，求：

（1）杆ab的加速度a和动摩擦因数μ；
（2）杆cd从静止开始沿导轨向下运动达到最大速度所需的时间t₀；
（3）画出杆cd在整个运动过程中的加速度随时间变化a-t图象，要求标明坐标值（不要求写出推导过程）．

Answer 1

分析：（1）回路中只有ab棒做切割磁感线运动，因ab做匀加速运动，经过t时间，速度为v=at，根据法拉第定律、欧姆定律和安培力公式F=BIL推导出安培力与速度的关系式，再根据牛顿第二定律得到拉力与时间的表达式，结合图象的信息，求解杆ab的加速度a和动摩擦因数μ；
（2）分析cd棒的受力情况，来确定其运动情况，可知cd杆先做加速运动后做减速运动，当cd杆所受重力与滑动摩擦力相等时，速度最大，电路中电流与时间有关，根据平衡条件列式求解时间．
（3）先做加速度减小的加速运动，后做加速度增大的减速运动，最后静止．分析cd杆受力情况，根据牛顿第二定律得到加速度与时间的关系式，作出加速度随时间变化a-t图象．

解答：解：（1）经时间t，杆ab的速率
  v=at
此时，回路中的感应电流为I=

E

R

=

BL?v

R

对杆ab由牛顿第二定律得F-BIL-μmg=ma
由以上各式整理得：F=ma+μmg+

B2L2

R

at
在图线上取两点：
  t₁=0，F₁=1.5N；t₂=30s，F₂=4.5N，
代入上式得a=10m/s²，μ=0.5
（2）cd杆受力情况如图1，当cd杆所受重力与滑动摩擦力相等时，速度最大，即mg=μF_N．
又F_N=F_安        
  F_安=BIL         
  I=

E

R

=

BL?v

R

  v=at₀
整理解得  t0=

mgR

μB2L2a

=

0.1×10×1.0

0.5×0.52×0.22×10

s=20s
（3）设cd杆的加速度为a′，根据牛顿第二定律得：
mg-μF_安=ma′
有：mg-μ

B2L2at

R

=ma′
得：a′=g-

μB2L2at

R

，
当t=0时，a′=10m/s²；
当a′=0时，t=

gR

μB2L2

=20s．故作出加速度随时间变化a-t图象如图2所示．
答：
（1）杆ab的加速度a和动摩擦因数μ分别为10m/s²和μ=0.5；
（2）杆cd从静止开始沿导轨向下运动达到最大速度所需的时间t₀是20s．
（3）杆cd在整个运动过程中的加速度随时间变化a-t图象如图2所示．

点评：本题是电磁感应与力学知识的综合应用，安培力的分析和计算是关键，并能熟练运用牛顿第二定律分析加速度与时间的关系．